2018-2019版数学高二同步系列课堂讲义北师大版选修4-4课件：第一章 坐标系1.3
§3 柱坐标系和球坐标系,一,二,一、柱坐标系 在平面极坐标系的基础上,通过极点O,增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴,这样就建立了柱坐标系(如图). 设点M(x,y,z)为空间一点,并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r,),则这样的三个数r,z构成的有序数组(r,z)就叫作点M的柱坐标,这里规定r,z的变化范围为0r+,02,-z+.,一,二,特别地, r=常数,表示的是以z轴为轴的圆柱面; =常数,表示的是过z轴的半平面; z=常数,表示的是与xOy平面平行的平面.,一,二,二、球坐标系 设点M(x,y,z)为空间一点,点M可用这样三个有次序的数r,来确定,其中r为原点O到点M间的距离,为有向线段 与z轴正方向所夹的角,为从z轴正半轴看,x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段 的角,这里P为点M在xOy平面上的投影(如图).这样的三个数r,构成的有序数组(r,)叫作点M的球坐标,这里r,的变化范围为0r+,0,02.,一,二,特别地, r=常数,表示的是以原点为球心的球面; =常数,表示的是以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面; =常数,表示的是过z轴的半平面. 点M的直角坐标与球坐标的关系为,名师点拨空间中点的三种坐标的特点 设空间中点M的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(r,z),球坐标为(r,),它们都是有序数组,但意义不同.直角坐标为三个实数;柱坐标分别表示距离、角、实数;球坐标分别表示距离、角、角.,一,二,做一做1 在球坐标系中,点M 的直角坐标为( ) A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(3,3,0),答案：B,一,二,做一做2 已知点A的柱坐标是 ,则它的直角坐标是 .,一,二,做一做3 点M的直角坐标是(1,-1, ),将它化成球坐标为 .,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“×”. (1)要刻画空间点的位置,无论用哪种坐标都需要三个数值. ( ) (2)球坐标系与柱坐标系中点的坐标一定包含角. ( ) (3)利用三角函数可以实现柱坐标、球坐标与直角坐标的互化. ( ) (4)点A(1,0,1)的柱坐标与直角坐标是相同的. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,把点的柱坐标化为直角坐标 【例1】 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标: 分析：由题目可获取以下主要信息:(1)已知点的柱坐标(r,z);(2) 化为点的直角坐标(x,y,z).解答本题直接利用公式 计算即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：(1)设点的直角坐标为(x,y,z).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.根据柱坐标系和点的柱坐标的意义,结合柱坐标系和空间直角坐标系的联系,柱坐标系在平面xOy内是极坐标系,点M的柱坐标(r,z)中,要求r0,0,2),z可以取一切实数. 2.将点的柱坐标(r,z)化为直角坐标(x,y,z)的公式为 运用特殊角的三角函数值计算即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,把点的球坐标化为直角坐标 【例2】 把下列各点的球坐标化为直角坐标.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)设点的直角坐标为(x,y,z).,反思感悟首先要明确点的球坐标(r,)中角,的边与数轴Oz,Ox的关系,注意各自的限定范围,即0,02. 化点的球坐标(r,)为直角坐标(x,y,z),需要运用公式 转化为三角函数的求值与运算.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 将下列各点的球坐标分别化为直角坐标:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,把点的直角坐标化为柱坐标或球坐标 【例3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,如图所示,建立空间直角坐标系A-xyz,以Ax为极轴,求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标. 分析：先求点C1的直角坐标,再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系,求得其柱坐标、球坐标.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：易知点C1的直角坐标为(x,y,z)=(1,1,1). 设点C1的柱坐标为(r,z),球坐标为(r,),其中r0,-z+,0,02.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟化点M的直角坐标(x,y,z)为柱坐标(r,z)或球坐标(r,),探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因未注意角的取值范围而致误,探究一,探究二,探究三,思维辨析,要先结合图形确定角的取值范围再求值.若不是特殊角,可以先设定角,再明确其余弦值或正切值,并标注角的取值范围即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 已知点P的直角坐标为(-1,1,- ),求点P的球坐标.,1 2 3 4 5,1.要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置,应适合运用 ( ) A.极坐标系 B.空间直角坐标系 C.柱坐标系 D.球坐标系 答案：D,1 2 3 4 5,2.已知点A的柱坐标为(1,0,1),则点A的直角坐标为 ( ) A.(1,1,0) B.(1,0,1) C.(0,1,1) D.(1,1,1) 解析：由点A的柱坐标为(1,0,1)知,r=1,=0,z=1, 故x=rcos =1,y=rsin =0,z=1, 所以点A的直角坐标为(1,0,1). 答案：B,1 2 3 4 5,3.已知点A的球坐标为 ,则点A的直角坐标为 ( ) A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(3,3,0),答案：B,1 2 3 4 5,4.设点M的直角坐标为(1,1, ),则点M的柱坐标为 ,球坐标为 .,1 2 3 4 5,5.已知点M的球坐标为 ,则点M的直角坐标为 .,
