高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_3_2 双曲线的几何性质学案 苏教版选修1-1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散23.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识点一双曲线的几何性质思考类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1(a>0，b>0)的哪些几何性质？梳理标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围对称性对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_顶点坐标渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)知识点二双曲线的离心率思考1如何求双曲线的渐近线方程？思考2在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？梳理双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的_，其取值范围是_e越大，双曲线的张口_知识点三双曲线的相关概念1双曲线的对称中心叫做双曲线的_2实轴和虚轴等长的双曲线叫做_双曲线，它的渐近线方程是_类型一已知双曲线的标准方程研究几何性质例1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率反思与感悟已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y±x；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程反思与感悟(1)求双曲线的标准方程的步骤：确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；设双曲线的标准方程；根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；求出a，b，写出方程(2)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b2<<a2)与双曲线1具有相同渐近线的双曲线方程可设为(0)渐近线方程为ax±by0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0)跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e；(3)渐近线方程为y±x，且经过点A(2，3)类型三求双曲线的离心率例3分别求适合下列条件的双曲线的离心率：(1)双曲线的渐近线方程为y±x；(2)双曲线1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.反思与感悟求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2a2b2，直接求a，c的值而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值在本题的(2)中，要注意条件0<a<b对离心率的限制，以保证题目结果的准确性跟踪训练3已知F1，F2是双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90°，求双曲线的离心率类型四直线与双曲线的位置关系例4斜率为2的直线l被双曲线1截得的弦长为，求l的方程引申探究若某直线l与本例中的双曲线相交，求以点P(3，1)为中点的直线l的方程反思与感悟(1)求弦长的两种方法距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：ykxb(k0)与双曲线C：1(a>0，b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB|x1x2| |y1y2|.特别提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况(2)中点弦问题与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决跟踪训练4设双曲线C：y21(a>0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值1双曲线的一个顶点坐标为(1,0)，一条渐近线方程为y2x，则双曲线方程为_2设双曲线1的渐近线方程为3x±2y0，则a_.3如果双曲线1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为_4若双曲线1的渐近线方程为y±x，则双曲线的焦点坐标是_5设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_1渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程反之由渐近线方程ax±by0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形提醒：完成作业第2章§2.32.3.2答案精析问题导学知识点一思考范围、对称性、顶点、离心率、渐近线梳理xa或xaya或ya坐标轴原点坐标轴原点A1(a，0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)知识点二思考1将方程1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”，即由0，得±0，如图，作直线±0，当双曲线1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，但始终不会相交，把这两条直线叫做双曲线的渐近线思考2双曲线1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e，则.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大梳理离心率(1，)越大知识点三1中心2等轴y±x题型探究例1解将方程x23y2120化为标准方程为1，a24，b212，a2，b2，c4.双曲线的实轴长为2a4，虚轴长为2b4；焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)；顶点坐标为A1(0，2)，A2(0,2)；渐近线方程为y±x；离心率e2.跟踪训练1解将9y24x236变形为1，即1.a3，b2，c，因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)；焦点坐标为(，0)，(，0)；实轴长是2a6，虚轴长是2b4；离心率e；渐近线方程为y±x±x.例2解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a>0，b>0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)设以y±x为渐近线的双曲线方程为(0)当>0时，a24，2a26；当<0时，a29，2a261.双曲线的标准方程为1或1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2(0)将点(2，2)代入双曲线方程，得(2)22.双曲线的标准方程为1.跟踪训练2解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b12，故所求双曲线的标准方程为1.(2)由e2，得，设a29k(k>0)，则c210k，b2c2a2k.设所求双曲线方程为1或1.将(3,9)代入，得k161，与k>0矛盾，无解；将(3,9)代入，得k9.故所求双曲线的标准方程为1.(3)方法一双曲线的渐近线方程为y±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为y±x，可设双曲线方程为y2(0)A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.例3解(1)若焦点在x轴上，则，e ；若焦点在y轴上，则，即，e .综上可知，双曲线的离心率为或.(2)依题意得直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，3210×30.解得或3.又0<a<b，3.e 2.跟踪训练3解设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程，得1，解得y±.PF1.由双曲线对称性，PF2QF2且PF2Q90°，知F1F2PQPF1，2c，则b22ac，c22aca20，22×10，即e22e10，e1或e1(舍去)所求双曲线的离心率为1.例4解设直线l的方程为y2xm.由得10x212mx3(m22)0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)AB2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25m24×(m22)AB，m26(m22)6，解得m±.由(*)式得24m2240，把m±代入上式得>0.m的值为±，所求l的方程为y2x±.引申探究解设相交的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)则，可得0.P为AB的中点，且P的坐标为(3,1)，即将其代入式，得2(x1x2)(y1y2)0，即k2，故直线l的方程为y12(x3)，即y2x