高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_1_3 空间向量基本定理 3_1_4 空间向量的坐标表示学案 苏教版选修2-1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识点一空间向量基本定理思考1平面向量基本定理的内容是什么？思考2只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？梳理空间向量基本定理(1)定理内容：条件：三个向量e1，e2，e3_.结论：对空间中任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使_.(2)基底：定义在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间_的三个向量，则把e1，e2，e3称为空间的一个_，_叫做基向量正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相_，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是_时，称这个基底为单位正交基底，通常用_表示(3)推论：条件：O，A，B，C是_的四点.结论：对空间中任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得_.知识点二空间向量的坐标表示思考1对于空间任意两个向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，若a与b共线，则一定有吗？思考2若向量(x1，y1，z1)，则点B的坐标一定为(x1，y1，z1)吗？梳理(1)空间向量的坐标表示向量a的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的_向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在_的有序实数组_，使_，有序实数组_叫做向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作_.向量的坐标：对于空间任一点A(x，y，z)，向量是确定的，即(x，y，z).(2)空间中有向线段的坐标表示设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，坐标表示：_.语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的_.(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，试根据下面的提示填空.运算表示方法加法ab_减法ab_数乘a_(R)(4)空间向量平行的坐标表示若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，且a0，则abb1a1，b2a2，b3a3(R).类型一空间向量基本定理及应用命题角度1空间基底的概念例1已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底.反思与感悟基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.跟踪训练1以下四个命题中正确的是_.空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.命题角度2空间向量基本定理的应用例2在空间四边形OABC中，点D是边BC的中点，点G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，试用向量a，b，c表示向量和.引申探究若将本例中的“G是ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件不变，应如何表示，？反思与感悟用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键.跟踪训练2如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量.(1)；(2)；(3)；(4).类型二空间向量的坐标表示例3棱长为1的正方体ABCDABCD中，E、F、G分别为棱DD、DC、BC的中点，以，为基底，求下列向量的坐标.(1)，；(2)，.引申探究本例中，若以，为基底，试写出，的坐标.反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，在基底a，b，c下的坐标为_.类型三空间向量的坐标运算及应用例4已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4).(1)求，；(2)是否存在实数x，y，使得xy成立，若存在，求x，y的值；若不存在，请说明理由.反思与感悟向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标.特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标.进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质.跟踪训练4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，求|ba|的最小值.1.有下列三个命题三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；若a、b是两个不共线的向量，而cab(、R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底.其中为真命题的是_.2.已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b_.3.已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b_.4.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知ABAD2，BB11，则的坐标为_，的坐标为_.5.在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用a，b，c表示)用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.答案精析问题导学知识点一思考1如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考2不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直.梳理(1)不共面pxe1ye2ze3(2)不共面基底e1，e2，e3垂直单位向量i，j，k(3)不共面xyz知识点二思考1不一定.当b中的x2，y2，z2中存在0时，式子无意义，故此种说法错误.思考2不一定.由向量的坐标表示知，若向量的起点A与原点重合，则B点的坐标为(x1，y1，z1)，若向量的起点A不与原点重合，则B点的坐标就不为(x1，y1，z1).梳理(1)单位惟一(x，y，z)axiyjzk(x，y，z)a(x，y，z)(2)(x2x1，y2y1，z2z1)终点坐标减去它的起点坐标(3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)(a1，a2，a3)题型探究例1解假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使xy成立.所以e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.得解得故，共面，不可以构成空间的一个基底.跟踪训练1例2解因为，而，又点D为BC的中点，所以()，所以()×()()(abc).而，又因为·()(bc)，所以(bc)(abc)a.所以(abc)，a.引申探究解()×()abc.×()(bc).所以(bc)(abc)abc.跟踪训练2解连结AC，AD.(1)()()(abc).(2)()(a2bc)abc.(3)()()()abc.(4)()()abc.例3解(1)，.(2)()()，()()，(1，0).引申探究解(1,0，)，(，1,0)，(0，).跟踪训练3例4解(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2).(1)(1,1,0)(1,0,2)(0,1,2).(1,1,0)(1,0,2)(2,1，2).(2)假设存在x，yR满足条件，由已知可得(2，1,2).由题意得(1,0,2)x(1,1,0)y(2，1,2)，所以(1,0,2)(x2y，xy,2y)，所以所以所以存在实数x1，y1使得结论成立.跟踪训练4|ba|min.当堂训练1.2.(2，4,2)3.(8,0,4)4.(0,2,1)(2,2,1)5.abc经过专家组及技术指导员的共同努力，科技入户工作取得了很大的成绩，促进了小麦 产量的大幅提升，农民种粮收益明显提高，得到了广大群众的一致赞许和社会各界的广泛好评。