高中数学 第三章 导数及其应用 3_3_2 极大值与极小值学案 苏教版选修1-1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散33.2极大值与极小值学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数极值的概念函数yf(x)的图象如图所示思考1函数在xa处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？思考2f(a)为多少？在xa附近，函数的导数的符号有什么规律？思考3函数在xb处的情况呢？梳理(1)极小值点与极小值函数yf(x)在xa处的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在xa的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0.则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值函数yf(x)在xb处的函数值f(b)比它在xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在xb的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0.则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值_、_统称为极值点，_和_统称为极值知识点二求函数yf(x)极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时，(1)如果在x0的左侧f(x)_0，右侧f(x)_0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0的左侧f(x)_0，右侧f(x)_0，那么f(x0)是极小值类型一求函数的极值和极值点例1求下列函数的极值：(1)f(x)2x33x212x1；(2)f(x)3ln x.反思与感悟求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f(x)；(2)求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根；(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图象也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断跟踪训练1已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值类型二已知函数极值求参数例2(1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.(2)若函数f(x)x3x2ax1有极值点，则a的取值范围为_引申探究1若本例(2)中函数的极大值点是1，求a的值2若例(2)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练2设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由类型三函数极值的综合应用例3设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数跟踪训练3已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围1已知函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有_个极大值点，_个极小值点2函数f(x)x3ex的极值点x0_.3已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_4设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_5已知关于x的函数f(x)x3bx2cxbc，若函数f(x)在x1处取得极值，则b_，c_.1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题提醒：完成作业第3章§3.33.3.2答案精析问题导学知识点一思考1函数在xa处的函数值比它在xa附近的其他点的函数值都小思考2f(a)0，在xa的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0.思考3函数在xb处的函数值f(b)比它在xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，且在xb的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0.梳理(2)极大值点极小值点极大值极小值知识点二(1)><(2)<>题型探究例1解(1)函数f(x)2x33x212x1的定义域为R，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值21极小值6所以当x2时，f(x)取极大值21；当x1时，f(x)取极小值6.(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值跟踪训练1解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，f(0)ab44，又f(0)b4，由可得ab4.(2)f(x)ex(4x4)x24x，f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2)(x2)(4ex2)解f(x)0，得x12，x2ln 2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)例2(1)29(2)(，1)引申探究1解f(x)x22xa，由题意得f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值2解由题意得方程x22xa0有两不等正根，设为x1，x2，则解得0<a<1.故a的取值范围是(0,1)跟踪训练2解(1)因为f(x)aln xbx2x，所以f(x)2bx1.依题意得f(1)f(2)0，即解方程组得a，b.(2)由(1)知，f(x)ln xx2x(x>0)，故f(x)x1.当x(0,1)时，f(x)<0；当x(1,2)时，f(x)>0；当x(2，)时，f(x)<0.故在x1处函数f(x)取得极小值，在x2处函数取得极大值ln 2.所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点例3解(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因为当x>或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知，yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根跟踪训练3解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，)(，4)4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为g()m，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，得解得16<m<.当堂训练1222.33.(，3)(6，)4.95.13经过专家组及技术指导员的共同努力，科技入户工作取得了很大的成绩，促进了小麦 产量的大幅提升，农民种粮收益明显提高，得到了广大群众的一致赞许和社会各界的广泛好评。