高中数学 第三章 导数及其应用 3_3_2 极大值与极小值课件 苏教版选修1-1

3.3.2 极大值与极小值,第3章 §3.3 导数在研究函数中的应用,1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极 值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 函数极值的概念,思考1 函数在xa处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？,函数yf(x)的图象如图所示,答案,函数在xa处的函数值比它在xa附近的其他点的函数值都小,思考2 f(a)为多少？在xa附近，函数的导数的符号有什么规律？,答案,f(a)0，在xa的左侧f(x)0.,思考3 函数在xb处的情况呢？,答案,函数在xb处的函数值f(b)比它在xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，且在xb的左侧f(x)0，右侧f(x)0.,梳理 (1)极小值点与极小值 函数yf(x)在xa处的函数值f(a)比它在xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在xa的左侧f(x)0.则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值 (2)极大值点与极大值 函数yf(x)在xb处的函数值f(b)比它在xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在xb的左侧f(x)0，右侧f(x)0.则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值 、 统称为极值点， 和 统称为极值,极大值点,极小值点,极大值,极小值,知识点二 求函数yf(x)极值的方法,解方程f(x)0，当f(x0)0时， (1)如果在x0的左侧f(x) 0，右侧f(x) 0，那么f(x0)是极大值 (2)如果在x0的左侧f(x) 0，右侧f(x) 0，那么f(x0)是极小值,题型探究,类型一 求函数的极值和极值点,例1 求下列函数的极值： (1)f(x)2x33x212x1；,解答,函数f(x)2x33x212x1的定义域为R， f(x)6x26x126(x2)(x1)， 解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,所以当x2时，f(x)取极大值21；当x1时，f(x)取极小值6.,解答,令f(x)0，得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值,求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f(x)； (2)求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根； (3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 特别提醒 在判断f(x)的符号时，借助图象也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断,反思与感悟,跟踪训练1 已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处切线方程为y4x4. (1)求a，b的值；,f(x)ex(axb)aex2x4 ex(axab)2x4， f(0)ab44， 又f(0)b4， 由可得ab4.,解答,(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值,解答,f(x)ex(4x4)x24x， f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2) (x2)(4ex2) 解f(x)0，得x12，x2ln 2， 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增， 在(2，ln 2)上单调递减 当x2时，函数f(x)取得极大值， 极大值为f(2)4(1e2),类型二 已知函数极值求参数,例2 (1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.,2,9,答案,解析,f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.,当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去 当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3) 当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数； 当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为增函数 故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.,(2)若函数f(x) x3x2ax1有极值点，则a的取值范围为_,f(x)x22xa， 由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根， 44a0，解得a1.,(，1),答案,解析,引申探究 1.若本例(2)中函数的极大值点是1，求a的值.,解答,f(x)x22xa， 由题意得f(1)12a0， 解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值.,2.若例(2)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围.,解答,由题意得方程x22xa0有两不等正根，设为x1，x2，,故a的取值范围是(0,1).,反思与感悟,已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,跟踪训练2 设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值；,解答,因为f(x)aln xbx2x，,(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.,解答,当x(0,1)时，f(x)0； 当x(2，)时，f(x)0.,所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点.,类型三 函数极值的综合应用,解答,例3 设函数f(x)x36x5，xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；,f(x)3x26，令f(x)0，,解答,(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.,由(1)的分析知，yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示.,直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根.,反思与感悟,用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.,解答,由f(x)x36x29x3， 可得f(x)3x212x9，,x2x3m， 由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点. g(x)3x214x8(3x2)(x4)，,当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：,当堂训练,1,2,3,4,5,由导数与函数极值的关系知，当f(x0)0时，若在x0的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x)在xx0处取得极小值.设函数f(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值.,2,1.已知函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有_个极大值点，_个极小值点.,答案,解析,2,1,2,3,4,5,f(x)3x2exx3exx2ex(3x)， 当x(，3)时，f(x)0， 当x(3，)时，f(x)0， x03是f(x)的极值点.,2.函数f(x)x3ex的极值点x0_.,答案,解析,3,1,2,3,4,5,3.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_.,f(x)3x22axa6， 因为f(x)既有极大值又有极小值， 那么(2a)24×3×(a6)0， 解得a6或a3.,答案,解析,(，3)(6，),1,2,3,4,5,4.设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_.,9,f(x)18x26(a2)x2a.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,3,1,2,3,4,5,若b1，c1， 则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值； 若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)， 当3x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0.,规律与方法,1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.,本课结束,