高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性 三 相似三角形的判定创新应用教学案 新人教a版选修

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散三 似三角形的判定及性质1相似三角形的判定对应学生用书P71相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似说明1.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似因为它的条件最容易寻求在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多2引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理，可以判定两直线平行3直角三角形相似的判定定理(1)定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似说明对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用对应学生用书P8相似三角形的判定例1如图，已知在ABC中，ABAC，A36°，BD是角平分线，证明：ABCBCD.思路点拨已知ABAC，A36°，所以ABCC72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.证明A36°，ABAC，ABCC72°.又BD平分ABC，ABDCBD36°，ACBD.又CC，ABCBCD.判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，找另一对等角，找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，找夹角相等，找第三边对应成比例，找一对直角1如图，BCFGED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是()A1B2C3 D4解析：AED与AFG相似，AED与ABC相似，AFG与ABC相似答案：C2如图，O是ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，求证：DEFABC.证明：D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，DEAB，EFBC，FDCA.DEFABC.3如图，D在AB上，且DEBC交AC于E，F在AD上，且AD2AF·AB，求证：AEFACD.证明：DEBC，.AD2AF·AB，.由两式得，又A为公共角，AEFACD.直角三角形相似的判定例2如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP.思路点拨由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明即可证明在正方形ABCD中，Q是CD的中点，2.3，4.又BC2DQ，2.在ADQ和QCP中，2，CD90°，ADQQCP.直角三角形相似的判定方法：(1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定(2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似4如图，C90°，D是AC上的一点，DEAB于E，求证：ADEABC.证明：DEAB，DEA90°，C90°，DEAC.AA.ADEABC5如图，BD，CE是ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与ACE相似的三角形解：ACE为公共角，由直角三角形判定定理1，知RtFDCRtACE.又A为公共角，RtABDRtACE.又AACE90°，AABD90°，ACEABD.RtFBERtACE.故共有三个直角三角形，即RtABD，RtFBE，RtFCD与RtACE相似.相似三角形的应用例3如图，D为ABC的边AB上一点，过D点作DEBC，DFAC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH.求证：GHAB.思路点拨根据此图形的特点可先证比例式成立，再证EGHEDB，由相似三角形的定义得EHGEBD即可证明DEBC，即.又DFAC，.又GEHDEB，EGHEDB.EHGEBD.GHAB.不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系有时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系6如图，ABC的三边长是2、6、7，DEF的三边长是4、12、14，且ABC与DEF相似，则A_，B_，C_._.解析：AD，BE，CF.答案：DEFDEBCDF7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：CDEFAE；(2)当E是AD的中点，且BC2CD时，求证：FBCF.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD.又点F在BA的延长线上，DCFF，DFAE.CDEFAE.(2)E是AD的中点，AEDE.由CDEFAE，得.CDFA.ABCDAF.BF2CD.又BC2CD，BCBF.FBCF.8.如图，在RtABC中，BAC90°，ADBC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F.求证：.证明：E是RtADC斜边AC上的中点，AEECED.EDCCBDF.又ADBC且BAC90°，BADC.BADBDF.又FF，DBFADF，.又在RtABD与RtCBA中，.对应学生用书P10一、选择题1如图所示，ADEFBC，GHAB，则图中与BOC相似的三角形共有()A1个B2个C3个 D4个解析：根据相似三角形的判定定理可得：OEFOBC(EFBC)；CHGCBO(HGOB)；OADOBC(ADBC)故与BOC相似的三角形共有3个答案：C2下列判断中，不正确的是()A两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似B斜边和一直角边长分别是2，4和，2的两个直角三角形相似C两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似D两个等腰直角三角形相似解析：由直角三角形相似判定定理知A、B、D正确答案：C3如图，要使ACDBCA，下列各式中必须成立的是()A.B.CAC2CD·CBDCD2AC·AB解析：CC，只有，即AC2CD·CB时，才能使ACDBCA.答案：C4.如图，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得，则有()AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD解析：因为AC，2，所以AEDCBD.答案：B二、填空题5如图，ABC中，DEBC，GFAB，DE，GF交于点O，则图中与ABC相似的三角形共有_个，它们分别是_解析：与ABC相似的有GFC，OGE，ADE.答案：3GFC，OGE，ADE6如图所示，ACB90°，CDAB于点D，BC3，AC4，则AD_，BD_.解析：由题设可求得AB5，RtABCRtACD，.AD.又RtABCRtCBD，.BD.答案：7已知：在ABC中，AD为BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF4，BC5，则DF_.解析：连接AF.EFAD，AEED，AFDF，FADFDA.又FADDACCAF，FDABADB，且DACBAD，CAFB.而CFAAFB，AFCBFA.AF2CF·BF4×(45)36.AF6，即DF6.答案：6三、解答题8如图，已知ABC中，ABAC，D是AB的中点，E在AB的延长线上，且BEAB，求证：ADCACE.证明：D是AB的中点，.ABAC，. BEAB，.又ABAC，.又A为公共角，ADCACE.9.如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，ACBC，且AB·CDDE·AC.求证：AE·CEDE·EF.证明：AB·CDDE·AC.ACBC，ACBDCE90°.ACBDCE.AD.又AEFDEC，AEFDEC.AE·CEDE·EF.10如图所示，在ABC中，ACB90°，CDAB于D，AE是CAB的角平分线，CD与AE相交于点F，EGAB于G.求证：EG2FD·EB.证明：因为ACE90°，CDAB，所以CAEAEC90°，FADAFD90°.因为AFDCFE，所以FADCFE90°.又因为CAEFAD，所以AECCFE.所以CFCE.因