高中数学计数原理一

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理,从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有4 班，汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析: 从甲地到乙地有2类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 = 6 种方法.,你能说出这两个问 题的共同特征吗?,分类加法计数原理,完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法,两类中的方法不相同,例,在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到, A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体如下:,这名同学可能的专业选择共有多少种?,分析:两大学只能选一所一专业,且没有共同的强项专业,5,4,+,=9,从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法，乘火车，有4种方法; 第二类方法，乘汽车，有2种方法; 第三类方法，乘轮船，有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法.,完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法。那么完成这件事共有 m1+m2+m3 种方法.,做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法,N=m1+m2+mn,如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?,分析: 从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法, 第二步, 由B村去C村有 2 种方法, 所以从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法,你能说出这两个问 题的共同特征吗?,分步乘法计数原理,完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.,例,设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出男、女各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?,分两步进行选取,男,女,30,24,×,=720,再根据分步乘法原理,若再要从语,数,英三科科任老师中选出一名代表参加比赛,那又共有多少种选法?,老师,3,×,=2160,如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有 _种不同的方法.,N=m1×m2×m3,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 _种不同的方法.,N=m1×m2××mn,例,书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.,(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?,有3类方法,根据分类加法计数原理,N=4+3+2=9,(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?,分3步完成,根据分步乘法计数原理,N=4×3×2=24,解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.,练习,要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?,分两步完成,左边,右边,甲,乙,丙,3,2,第一步,第二步,×,在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是: 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个).,分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是: 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个),练习,一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?,分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。,练习,答:首位数字不为0的密码数是 N =9×10×10 = 9×102 种, 首位数字是0的密码数是 N = 1×10×10 = 102 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。,问: 若设置四位、五位、六位、十位等密码,密码数分别有多少种？,答:它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, 种。,如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?,练习,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。,如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?,练习,问: 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?,答:它们的涂色方案种数分别是 0, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180 种。,如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?,练习,解: 从总体上看由A到B的通电线路可分二类, 第一类, m1 = 4 条 第二类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 4 + 4 = 8 条不同的线路可通电.,点评:,乘法原理看成“串联电路”,加法原理看成“并联电路”;,如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?,练习,解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。,如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,练习,解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。,加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？,何时用加法原理、乘法原理呢?,加法原理,完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成.,乘法原理,完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.,分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”,