二面角平面角求法综合

二面角的求法(总结),以二面角的棱上任意一点为端点，,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,复习：,(1)定义法直接在二面角的棱上取一点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面角.,(2)三垂线法利用三垂线定理或逆定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小.,(3)垂面法通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角.,A,B,D,(4)射影面积法若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S，则二面角的大小为COS S÷ S,C,2、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？,探究准备：,答：相等或互补,m,互补,相等,m,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A.ABP B.ACP C.都不是,练 习,60º,二面角,例1.如图，已知P是二面角-AB-棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=60º BPM=BPN=45º ，求此二面角的度数。,C,D,解：,在PB上取不同于P 的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内作ODAB交PN于D，,连CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,设PO = a ，BPM =BPN = 45º,CO=a， DO=a， PC a ， PD a,又MPN=60º,CD=PC a,COD=90º,因此，二面角的度数为90º,a,二面角,例2如图P为二面角内一点，PA,PB,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。,过PA、PB的平面PAB与 棱 交于O点,PA PA,PB PB,平面PAB,AOB为二面角的平面角,又PA=5，PB=8，AB=7,由余弦定理得,P= 60º AOB=120º,这二面角的度数为120º,解：,O,二面角,取AB 的中点为E，连PE，OE,O为 AC 中点， ABC=90º,OEBC且 OE BC,在RtPOE中， OE ，PO,所求的二面角P-AB-C 的正切值为,例3如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C 的平面角,在RtPBE中，BE ，PB=1，PE,OEAB ，因此 PEAB,解：,二面角,D,二面角,探究一：,试一试： 例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a. 求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。,S,A,E,C,B,D,分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直； 2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。,解：如图： SA 平面ABC, SAAB，SAAC，SA BD; 于是SB= = a 又BC= a ， SB=BC; E为SC的中点，BESC 又DESC 故SC平面BDE 可得BDSC 又BDSA BD平面SAC CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面角的平面角。 ABBC，AC= = = a 在直角三角形SAC中，tanSCA= = SCA=300 ， CDE=900-SCA=600 解毕。,议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？ 请各小组讨论交流一下。,S,E,C,A,B,D,探究二：,试一试,例二：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。 求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,F,要求：1、各人思考；2、小组讨论； 3、小组交流展示；4、总结。,A1,D1,C1,C,B1,B,D,A,P,F,如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。 F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB, 又 DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD, 故 DBA=600, P=ABP=300, DBP=900,即PBDB； 又因为是直棱柱，DD1 PB, PB面DD1B, 故 DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。 显然BD=AD=DD1, DBD1=450。即为所求. 解毕。,解法一：,A1,D1,C1,B1,F,A,D,C,B,P,E,解法二：,如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线； 因为是直棱柱，所以AA1 底面ABCD,过A做AEPB,垂足为E,连接EF, 由三垂线定理可知，EFPB, AEF即为二面角D1-PB-D的平面角； 同解法一可知，等腰APB, P=300， RtAPB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱的棱长为2）又AF= 1, AEF=450，即为所求。,思考：这种解法同解法一有什么异同？,解法三：,法向量法：建系如图： 设这个四棱柱各棱长均为2. 则D(0，0，0） D1（0，0，2） B（1， ，0） F（-1， ，1） =（-2，0 ，1） =（1， ，-2） 显然， 就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量 =(x0,y0,z0)。则 且 2x0+ 0y0-z0=0且x0+ y0-2z0=0 令x0=1可得z0= 2 , y0= , 即 =（ 1， ，2） 设所求二面角的平面角为，则COS = = ,所以所求二面角大小为450 解毕,A1,D1,C1,B1,A,B,C,D,x,y,z,F,解法四：,A1,D1,C1,B1,F,C,B,D,A,如图：由题意可知，这是一个直四棱柱 ， BFD1在底面上的射影三角形就是ABD, 故由射影面积关系可得COS= ABDB1 （是所求二面角的平面角） 以下求面积略。,点评：这种解法叫做“射影面积法” 在选择和填空题中有时候用起来会很好,河 堤 斜 面,三垂线法,三垂线法,点O在二面角内,垂面法,M,例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD ，BDCD1，另一个侧面是正三角形，求二面角BACD的大小.,N,P,E,F,例2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角ABD1P的大小.,例3、(高考题)ABC中，ABBC， SA 平面ABC，DE垂直平分SC， 又SAAB，SBBC, （1）求证：SC 平面BDE, （2）求二面角EBDC的大小?,在正方体ABCDA1B1C1D1中， 求二面角D1ACD的大小？,总一总：求二面角的方法你都学会了哪些？每一种方法在使用上要注意什么问题？,请同学们先自己思考，然后小组内交流学习一下。,二面角的几种主要常用的求法： 1、垂面法。见例一和例二的解法一； 2、三垂线法。见例二的解法二； 3、射影面积法。见例二的解法三； 4、法向量夹角法。见例二的解法四。 其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法 ，也称为 直接法；射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为 间接法。,这几种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；尤其是向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点： 1、合理建系。本着“左右对称 就地取材”的建系原则。 2、视图取角。由于法向量的取定有人为的因素，其夹角不一定正好是二面角的平面交的大小，我们要视原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。,点 评,试一试： 例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a. 求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。,S,A,E,C,B,D,请同学们将刚才的例一用其他方法试一下：,规范训练一,1、（本小题为2007年山东高考试卷理科19题） 如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， 已知：DC=DC1=2AD=2AB,ADDC, AB/DC （）设E是DC的中点，求证：D1E /平面A1BD ； （）求二面角 A1-BD-C1余弦值。,规范训练二：,2、（本小题为2008年山东高考理科试卷20题） 如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA 平面 ABCD , ABC =600 ， E、F分别是BC、PC 的中点 （）证明：AEPD ； （）若 H为 PD上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 ，求二面角E-AF-C 的余弦值,1.四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点，求二面角MDNC的平面角的正切值？,作业：,