高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_1 直线的方程教师用书 文 北师大版
“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程教师用书 文 北师大版1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.倾斜角的范围为0°，180°)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_，倾斜角是90°的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率(×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大(×)(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.(×)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等(×)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()1(2016·天津模拟)过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4答案A解析依题意得1，解得m1.2直线xya0的倾斜角为()A30° B60°C150° D120°答案B解析化直线方程为yxa，ktan .0°<180°，60°.3如果A·C<0且B·C<0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由已知得直线AxByC0在x轴上的截距>0，在y轴上的截距>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限4(教材改编)直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_.答案1或2解析令x0，得直线l在y轴上的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1，依题意2a1，解得a1或a2.5过点A(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_答案3x2y0或xy50解析当直线过原点时，直线方程为yx，即3x2y0；当直线不过原点时，设直线方程为1，即xya，将点A(2，3)代入，得a5，即直线方程为xy50.故所求直线的方程为3x2y0或xy50.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)(2016·北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为，斜率为k，那么“>”是“k>”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_答案(1)B(2)(，1，)解析(1)当<<时，k<0；当k>时，<<.所以“>”是“k>”的必要不充分条件，故选B.(2)如图，kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围解如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图像知l的倾斜角的范围为0°，45°135°，180°)思维升华直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论由正切函数图像可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0)(2016·开封模拟)若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是_答案(，)解析因为直线l恒过定点(0，)作出两直线的图像，如图所示，从图中看出，直线l的倾斜角的取值范围应为(，)题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0<<)，从而cos ±，则ktan ±.故所求直线方程为y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a0，即l过点(0,0)及(4,1)，l的方程为yx，即x4y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(4,1)，1，a5，l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的倍；(3)过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点且|AB|5.解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为yx，即2x3y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(3,2)，1，a5，l的方程为xy50，综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k×3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|5，即x1为所求设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组得两直线交点为(k2，否则与已知直线平行)，则B点坐标为(，)(1)2(1)252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线方程为x1或3x4y10.题型三直线方程的综合应用命题点1与基本不等式相结合求最值问题例3已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解方法一设直线方程为1(a>0，b>0)，把点P(3,2)代入得12，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.则直线l的方程为y2k(x3)(k<0)，且有A，B(0,23k)，所以SABO(23k)×(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S×2×(2a)×2×(a22)a2a42，当a时，面积最小思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_答案2解析因为mR，所以定点A(0,0)，B(1,3)，又1×mm×(1)0，所以这两条直线垂直，则|PA|2|PB|2|AB|210，则|PA|PB|2，当且仅当|PA|PB|时，等号成立10求与截距有关的直线方程典例设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示现场纠错解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，直线l的方程为3xy0或xy20.(2)由(a2)得a20或a11，a2或a2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解1直线x的倾斜角等于()A0 B. C. D答案C解析由直线x，知倾斜角为.2(2016·威海模拟)过点(2,1)
