高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 重点强化课4 直线与圆教师用书 文 北师大版

重点强化课重点强化课( (四四) ) 直线与圆直线与圆 复习导读 1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直 线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的 位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另外，应认真体会数形结合思想的应用， 充分利用直线、圆的几何性质简化运算 重点 1 直线方程与两直线的位置关系 (1)(2017·江西南昌模拟)直线(2m1)x(m1)y7m40 过定点( ) A(1，3) B(4,3) C(3,1) D(2,3) (2)(2017·济南调研)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3) 2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) 【导学号：66482389】 A 或 B 或 5 3 3 5 3 2 2 3 C 或 D 或 5 4 4 5 4 3 3 4 (1)C C (2)D D (1)2mxxmyy7m40，即(2xy7)m(xy4)0， 由Error!解得Error!则直线过定点(3,1) (2)由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的 对称性，知反射光线一定过点(2，3) 设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即 kxy2k30. 由反射光线与圆相切，则有d1， |3k22k3| k21 解得k 或k . 4 3 3 4 规律方法 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标 2直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直 线间的位置关系等注意数形结合思想、分类讨论思想的应用 对点训练 1 (2017·福建龙岩二模)已知m，n为正整数，且直线 2x(n1) y20 与直线mxny30 互相平行，则 2mn的最小值为( ) A7 B9 C11 D16 B B 直线 2x(n1)y20 与直线mxny30 互相平行， 2nm(n1)， m2nmn， 又m0，n0，得 1. 2 m 1 n 2mn(2mn)5529. ( 2 m 1 n) 2n m 2m n 2n m ·2m n 当且仅当时取等号 2n m 2m n 2mn的最小值为 9. 重点 2 圆的方程 (1)若圆x2y2ax2y10 与圆x2y21 关于直线yx1 对 称，过点C(a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( ) Ay24x4y80 By22x2y20 Cy24x4y80 Dy22xy10 (2)(2015·全国卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点， 则|MN|( ) A2 B8 6 C4 D10 6 (1 1)C C (2 2)C C (1)由圆x2y2ax2y10 与圆x2y21 关于直线yx1 对称， 可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线yx1 上，故可得a2，即点 C(2,2) 过点C(2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x2)2(y2)2x2，整理 得y24x4y80. (2)设圆的方程为x2y2DxEyF0， 则Error!解得Error! 圆的方程为x2y22x4y200. 令x0，得y22或y22， 66 M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)， 6666 |MN|4. 6 规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方 程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的 三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内 切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解 对点训练 2 (2017·河北唐山二模)直线l： 1 与x轴、y轴分别相交于点 x 4 y 3 A，B，O为坐标原点，则OAB内切圆的方程为_ (x1)2(y1)21 由题意，设OAB的内切圆的圆心为M(m，m)，则半径为|m|. 直线l的方程 1 可化为 3x4y120， x 4 y 3 由题意可得m，解得m1 或m6(不符合题意，舍去) |3m4m12| 3242 OAB内切圆的方程为(x1)2(y1)21. 重点 3 直线与圆的综合问题 角度 1 圆的切线 如图 1，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B 在A的上方)，且|AB|2. (1)圆C的标准方程为_； (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_ 图 1 (1)(x1)2(y)22 (2)1 (1)由题意知点C的坐标为(1，)，圆的 222 半径r. 2 所以圆的方程为(x1)2(y)22. 2 (2)在(x1)2(y)22 中， 2 令x0，解得y±1，故B(0，1) 22 直线BC的斜率为1， 21 2 01 故切线的斜率为 1，切线方程为yx1. 2 令y0，解得x1， 2 故所求截距为1. 2 角度 2 直线与圆相交的弦长问题 (2017·郑州质检)设m，nR R，若直线l：mxny10 与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B，且l与圆x2y24 相交所得弦的长为 2，O为坐标原点，则AOB 面积的最小值为_ 3 由题意知A，B，圆的半径为 2，且l与圆的相交弦长为 2，则圆心到 ( 1 m，0) (0， 1 n) 弦所在直线的距离为. 3 m2n2 ， 1 m2n23 1 3 SAOB3，即三角形面积的最小值为 3. 1 2| 1 m| 1 n| | 1 2mn| 1 m2n2 角度 3 直线、圆与相关知识的交汇 (2015·全国卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2) 2(y3)21 交于M，N两点 (1)求k的取值范围； (2)若·12，其中O为坐标原点，求|MN|. OM ON 解 (1)由题设可知直线l的方程为ykx1. 2 分 因为直线l与圆C交于两点，所以1， |2k31| 1k2 解得k. 4 7 3 4 7 3 所以k的取值范围为. 5 分 ( 4 7 3 ，4 7 3 ) (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2) 将ykx1 代入方程(x2)2(y3)21， 整理得(1k2)x24(1k)x70. 所以x1x2，x1x2. 8 分 41k 1k2 7 1k2 ·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1 OM ON 8. 4k1k 1k2 由题设可得812，解得k1， 4k1k 1k2 所以直线l的方程为yx1. 故圆心C在直线l上，所以|MN|2. 12 分 规律方法 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题几何化， 利用数形结合思想解题 2(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于 l. (2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点 的直径 (3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦 长 ，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理 l 2