高考数学一轮复习 第5章 数列 热点探究课3 数列中的高考热点问题教师用书 文 北师大版

热点探究课热点探究课( (三三) ) 数列中的高考热点问题数列中的高考热点问题 命题解读 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与 高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 1 题(全国卷 T17)交 替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数 列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等 热点 1 等差、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程 思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n， “知三求二” (2016·天津高考)已知an是等比数列，前n项和为Sn(nN N*)，且 1 a1 1 a2 ，S663. 2 a3 (1)求an的通项公式； (2)若对任意的nN N*，bn是 log2an和 log2an1的等差中项，求数列(1)nb的前 2n 2n项和 解 (1)设数列an的公比为q. 由已知，有， 1 a1 1 a1q 2 a1q2 解得q2 或q1. 2 分 又由S6a1·63，知q1， 1q6 1q 所以a1·63，得a11. 126 12 所以an2n1. 5 分 (2)由题意，得bn (log2anlog2an1) 1 2 (log22n1log22n)n ， 1 2 1 2 即bn是首项为 ，公差为 1 的等差数列. 8 分 1 2 设数列(1)nb的前n项和为Tn，则 2n T2n(bb)(bb)(bb) 2 12 22 32 422n12 2n b1b2b3b4b2n1b2n 2n2. 10 分 2nb1b2n 2 规律方法 1.若an是等差数列，则ban(b0，且b1)是等比数列；若an是正 项等比数列，则logban(b0，且b1)是等差数列 2对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实 现等差、等比数列之间的相互转化 对点训练 1 已知数列an的前n项和为Sn，常数0，且a1anS1Sn对一切 正整数n都成立 (1)求数列an的通项公式； (2)设a10，100.当n为何值时，数列的前n项和最大？ lg 1 an 【导学号：66482265】 解 (1)取n1，得a2S12a1，a1(a12)0. 2 1 若a10，则Sn0. 当n2 时，anSnSn1000， 所以an0(n1). 2 分 若a10，则a1. 2 当n2 时，2anSn,2an1Sn1， 2 2 两式相减得 2an2an1an， 所以an2an1(n2)，从而数列an是等比数列， 所以ana1·2n1·2n1. 2 2n 综上，当a10 时，an0；当a10 时，an. 5 分 2n (2)当a10，且100 时，令bnlg， 1 an 由(1)知，bnlg2nlg 2. 7 分 100 2n 所以数列bn是递减的等差数列，公差为lg 2. b1b2b6lglglg 10， 100 26 100 64 当n7 时，bnb7lglglg 10. 100 27 100 128 故数列的前 6 项和最大. 12 分 lg 1 an 热点 2 数列的通项与求和(答题模板) “基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的应用 (本小题满分 12 分)(2016·全国卷)已知an是公差为 3 的等差数 列，数列bn满足b11，b2 ，anbn1bn1nbn. 1 3 (1)求an的通项公式； (2)求bn的前n项和 思路点拨 (1)取n1，先求出a1，再求an的通项公式 (2)将an代入anbn1bn1nbn，得出数列bn为等比数列，再求bn的前n项和 规范解答 (1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2 ，得a12. 3 分 1 3 所以数列an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为an3n1. 5 分 (2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，7 分 bn 3 因此bn是首项为 1，公比为 的等比数列. 9 分 1 3 记bn的前n项和为Sn， 则Sn . 12 分 1(1 3)n 11 3 3 2 1 2 × 3n1 答题模板 第一步：求出an的首项a1； 第二步：求出an的通项公式； 第三步：判定bn为等比数列； 第四步：求出bn的前n项和； 第五步：反思回顾，查看关键点，易错点注意解题规范 温馨提示 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” 首项与公差是 等差数列的“基本量” ，首项与公比是等比数列的“基本量” 在解决等差数列或等比数列 的相关问题时， “基本量法”是常用的方法 对点训练 2 数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN N*. (1)证明：数列是等差数列； an n (2)设bn3n·，求数列bn的前n项和Sn. an 解 (1)证明：由已知可得1，2 分 an1 n1 an n 即1. an1 n1 an n 所以是以1 为首项，1 为公差的等差数列. 5 分 an n a1 1 (2)由(1)得1(n1)·1n，所以ann2. 7 分 an n 从而bnn·3n. Sn1·312·323·33n·3n， 3Sn1·322·33(n1)·3nn·3n1. 得2Sn31323nn·3n1 n·3n1. 3·13n 13 12n·3n13 2 所以Sn. 12 分 2n1·3n13 4 热点 3 数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的 点在函数图像上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n项和可以看作关于n的 函数，然后利用函数的性质求解数列问题 数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以 数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明 角度 1 数列与函数的交汇 (2016·湖北七市 4 月联考)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n22n. (1)求数列an的通项公式； (2)若点(bn，an)在函数ylog2 x的图像上，求数列bn的前n项和Tn. 【导学号：66482266】 解 (1)当n2 时， anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n， 当n1 时，a1S144×1， 所以数列an的通项公式为an4n. 5 分 (2)由点(bn，an)在函数ylog2 x的图像上得anlog2bn，且an4n，所以 bn2an24n16n，8 分 故数列bn是以 16 为首项，公比为 16 的等比数列 Tn. 12 分 16116n 116 16n116 15 规律方法 解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函 数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的 基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理 角度 2 数列与不等式的交汇 (2017·贵阳适应性考试(二)已知数列an满足 2an1an2an(nN N*)，且a3a720，a2a514. (1)求数列an的通项公式； (2)设bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn . 1 an1an1 1 2 解 (1)由 2an1an2an得an为等差数列. 2 分 设等差数列an的公差为d， 由a3a720，a2a514，解得d2，a12， 数列an的通项公式为an2n. 5 分 (2)证明：bn 1 an1an1 1 2n12n1 ，8 分 1 2( 1 2n1 1 2n1) Sn 1 2(1 1 3 1 3 1 5 1 5 1 2n1 1 2n1) ， 1 2(1 1 2n1) 当nN N*，Sn . 12 分 1 2(1 1 2n1) 1 2 规律方法 解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证 明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各 种不同解法，如列表法、因式分解法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结 合起来综合处理就行了