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【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五课件:3.3.2 第2课时 简单线性规划的应用5

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【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五课件:3.3.2 第2课时 简单线性规划的应用5

3.3.2简单的线性规划问题,引例,某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?,解决问题,(1)用不等式组表示问题中的限制条件:,设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由已知条件可得二元一次不等式组:,解决问题,(2)画出不等式组所表示的平面区域:,如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。,解决问题,(3)提出新问题:,进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?,解决问题,(4)尝试解答:,设工厂获得的利润为z,则z = 2x + 3y, 求z的最大值。,几何画板,解决问题,(5)获得结果:,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获得最大利润14万元,相关概念,y,x,4,8,4,3,o,把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为它是关于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。,满足线性约束的解 (x,y)叫做可行解。,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。,一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条件。,由所有可行解组成的集合叫做可行域。,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。,可行域,可行解,最优解,例5 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?,分析:将已知数据列成表格,解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么,目标函数为:z28x21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,把目标函数z28x21y 变形为,x,y,o,5/7,5/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系,是直线在y轴上的截距,当截距最小时,z的值最小。,M,如图可见,当直线z28x21y 经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小。,M点是两条直线的交点,解方程组,得M点的坐标为:,所以zmin28x21y16,由此可知,每天食用食物A143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元。,例6 在上一节例3中,各截得这两种钢板多少张可得所需A,B,C三种规格成品,且使所用钢板张数最少?,例3 要将两种大小不同的钢板截成三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:,今需要三种规格的成品分别为15,18,27块,用数学关系式和图形表示上述要求。,0,2,4,8,10,14,18,6,12,16,2,6,12,14,22,4,10,8,16,18,20,解:设需要截第一种钢板x张,第二种 钢板y张,则,2x+y 15,X+2y 18,X+3y 27,x 0,xN,y 0,yN,24,x=3,y=9;x=4,y=8,89.例六.gsp,例7 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?,解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:,x,y,o,解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮,能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y,可行域如图:,把Zx0.5y变形为y2x2z,它表示斜率为 2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。,x,y,o,由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时, 截距2z最大,即z最大。,故生产甲种、乙种肥料各 2车皮,能够产生最大利润, 最大利润为3万元。,M,容易求得M点的坐标为 (2,2),则Zmin3,解线性规划问题的步骤:,(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线;,(3)求:通过解方程组求出最优解;,(4)答:作出答案。,(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;,巩固练习,1.设x,y满足约束条件,则,的最大值是_.,2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3000元、2000元,甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工,在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h,A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大?,解:设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收入为z,目标函数为Z3x2y,满足的条件是,Z 3x2y 变形为 它表示斜率为 的直线系,Z与这条直线的截距有关。,X,Y,O,400,200,250,500,当直线经过点M时,截距最大,Z最大。,M,解方程组,可得M(200,100),Z 的最大值Z 3x2y800,故生产甲产品200件,乙产品100件,收入最大,为80万元。,线形目标函数目标函数是关于变量的一次解析式,目标函数把要求的最大值的函数,线形规划在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,可行解满足线形约束条件的解叫做可行解,可行域由所有可行解组成的集合,小结:,四、作业,习题3.3 B组:2、3,

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