矩阵初等变换与初等矩阵
一、初等变换,二、初等矩阵,三、求逆矩阵的初等行变换法,初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性,下页,第5节 矩阵的初等变换与初等矩阵,5.1 初等变换,交换第i行与第j行记为rirj .,r2r4,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,例如,下页,交换第i列与第j列记为cicj .,c1c3,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,用数k乘以第i行记为kri .,4r2,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,用数k乘以第i列记为kci .,4c3,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,第i行的k倍加到第j行记为rj+kri .,r3-3r1,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,第i列的k倍加到第j列记为cj+kci .,c3+c1,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,化成下述形式,它称为矩阵A的标准形（1的个数可以是零）.,下页,下页,2,1,0,1,0,0,0,0,4,1,-1,6,r2r1,r2-2r 1,1/4c3,c4+c 1,c4-3c 2,例如：,c4-6c3,定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) .,=E(2, 4),例如，下面是几个4阶初等矩阵：,r2r4,=E(2, 4),c2c4,下页,5.2 初等矩阵,=E(3(4),4 r3,=E(3(4),4 c3,下页,定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) .,5.2 初等矩阵,例如，下面是几个4阶初等矩阵：,=E(2,4(k),r2+kr4,=ET(2,4(k),c2+kc4,下页,定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) .,5.2 初等矩阵,例如，下面是几个4阶初等矩阵：,初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.,初等矩阵的可逆性,E(j,i(k)-1=E(j,i(-k) .,E(i(k)-1=E(i(k -1)；,E(i, j)-1=E(i, j)；,这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:,下页,|E(j,i(k)|=1 .,|E(i(k)|= k (k0) ；,|E(i, j)|=- 1；,E(1, 2)A=,与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.,AE(1, 2)=,例如，设,下页,定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于 用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于 用矩阵A乘相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵.,与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.,例如，设,E(1,3(2)A=,AET(1,3(2)=,下页,定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于 用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于 用矩阵A乘相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵.,练 习：,下页,练 习：,下页,5.3 求逆矩阵的初等变换方法,定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过行初等变换将A化为单位矩阵.,证： 因为A可逆,即|A|0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 0.,将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行， i=2,3,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:,由定理1知，,其中Fi是对应初等矩阵.,一直进行下去，最终把A化成了 单位矩阵E.,同理可得B2:,下页,即B2的第二行第二列元素化为 1, 第二列的其它元素全化为零.,推论 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.,下页,证 （必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换可化为单位阵E , 即存在初等矩阵,使,而,是初等矩阵.,（充分性）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵.,就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成 了A-1.于是有,利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握),构造一个 n×2n 矩阵(A|E)，对矩阵(A|E)作初等行变换，当 左部A变成单位矩阵E时，右部单位矩阵E则变成A-1.即,下页,即若,则,而由,即,例1(法2)求矩阵,解：,r2-2r1,r3+3r1,r3-2r2,r2+r3,r1-0.5r3,，,(AE )=,r30.5,下页,解：,例2,下页,下页,
