2019年线性代数辅导讲义练习参考 答案(1)
2019 线性代数辅导讲义 练习参考答案 - 2018 年 6 月 7 日 - 金榜图书编辑部数学组 微信公众号 Contents 第 2 页今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 第 15 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 第 18 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 第 26 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 第 28 页今年考题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 第 42 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 第 45 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 第 49 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 第 52 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 第 69 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 第 73 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 第 75 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 第 77 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 第 78 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 第 94 页今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 第 98 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 第 100 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 第 103 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 第 109 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 第 125 页今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 第 143 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 第 145 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 第 150 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 第 158 页今年考题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 第 164 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 第 175 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 限于能力和时间，难免有些错漏，恳请大家指正. 更欢迎大家分享不同的解法. 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 第第 2 页今年考题页今年考题 (2018,3) 答案2 解析: A1,2,3 = 1+ 2,2+ 3,1+ 3 = 1,2,3 101 110 011 , 因为 1,2,3线性无关，所以 1,2,3 可逆，为了方便，记 P = 1,2,3, 则 AP = P 101 110 011 , () A = P 101 110 011 P 1, 即 A 101 110 011 , 则有 （相似的矩阵，行列式值相等） |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? 101 110 011 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? 101 011 011 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? 11 11 ? ? ? ? ? = 1 (1) = 2. 也可以就得出的关系式 () 两边取行列式， |A|P| = |P| ? ? ? ? ? ? ? ? 101 110 011 ? ? ? ? ? ? ? ? , P 可逆，则 |P| = 0. |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? 101 110 011 ? ? ? ? ? ? ? ? = 2. (2018,1) 答案1 解析: 设 A 的特征值分别为 1,2,1= 2. 1,2线性无关，则 1,2属于不同特征值的特征向量. （如果 1,2是同一个特征值的特征向量，则该特征值至少是二重的，与题设特征值不同矛盾.） 不妨设 1,2对应的特征向量分别为 1,2，则 A1= 11,A2= 22. 代入 A2(1+ 2) = 2 11+ 2 22= 1+ 2 整理，得 (2 1 1 ) 1+ (2 2 1 ) 2= 0 1,2线性无关，系数全为 0. 2 1 1 = 0,22 1 = 0. 所以， |A| = 12= 1. 3 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 第第 15 页页 答案4+ 3+ 22+ 3 + 4 解析: 行列式的计算方法很多. 在计算时, 通过观察行列式的特点来简化计算. 比如本题按第一行展开就没 有按第一列展开计算方便. 按第一列展开后三角形行列式可以直接得出结果. 这里按第四列展开为例计算一下. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 432 + 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ( + 1) ? ? ? ? ? ? ? ? 10 01 00 ? ? ? ? ? ? ? ? + (1)4+3(1) ? ? ? ? ? ? ? ? 10 01 432 ? ? ? ? ? ? ? ? = ( + 1)3+ ( ? ? ? ? ? 1 32 ? ? ? ? ? + (1)3+14 ? ? ? ? ? 10 1 ? ? ? ? ? ) = 4+ 3+ 22+ 3 + 4. 也可以利用行列式的性质 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 432 + 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 432+ + 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 3 行的 + 1倍加到第 4 行 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 43+ 2+ 2 + 300 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 2 行的2+ + 2倍加到第 4 行 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 4+ 3+ 22+ 3 + 4000 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 1 行的3+ 2+ 2 + 3倍加到第 4 行 = 4+ 3+ 22+ 3 + 4.第 4 行展开 第第 18 页页 （1）答案1 解析: 矩阵不可逆, 矩阵行列式为零. |A| = 0,|A 2E| = 0,|3A + 2E| = 0,（特征值|E A| = 0,特征值的相关知识见第五章） 矩阵 A 的特征值为 = 0,2,2 3 矩阵 A + E 的特征值为 = 1,3, 1 3, （3 阶矩阵 3 个特征值.） 行列式 |A + E| 等于特征值乘积, |A + E| = 1 × 3 × 1 3 = 1. 4 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 （2
