浅谈对数学建模认识

1 浅谈对数学建模的认识浅谈对数学建模的认识 【摘 要】数学建模在数学和其他学科的发展过程中具有重要的意义。数学 建模有助于学生感受数学在解决实际问题中的价值和作用,体验综合运用知识和 方法解决实际问题的过程；有助于激发学生学习数学的兴趣,培养学生的创新意 识和实践能力。数学建模竞赛的开展有力地推动了高等院校数学教学体系、教学 内容和教学方式的改革。 【关键词】【关键词】数学建模认识数学建模竞赛 目录 引言.2 第一章 数学建模.3 一、数学建模的起源.3 二、数学建模的定义.3 三、数学建模的特点.4 四、数学建模的分类.5 五、数学建模过程.6 六、数学建模的实际意义.8 第二章 数学建模竞赛.9 一、数学建模竞赛的形式.9 二、对数学建模竞赛的认识.9 三、数模竞赛的团队.9 四、参加数学建模活动的好处.10 五、数学建模竞赛的局限性.10 六、数学建模竞赛对学生能力的培养 11 小结.12 参考文献.13 2 引言引言 世界上一切事物都是按照一定的客观规律运动变化着， 事物之间彼此联系和 相互制约，无论是从浩瀚的宇宙到渺小的粒子，还是从自然科学到社会科学都是 这样。恩格斯精辟地指出:数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 数学区分于其它学科的明显特点有三个：高度的抽象性；严谨的逻辑性；应用的 广泛性。事物的变化规律和事物之间的联系,必然蕴含着一定的数量关系，所以 数学是认识世界和改造世界的必不可少的重要工具。 著名数学家华罗庚教授曾指 出的:宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用 之繁， 无处不在， 凡是出现量的地方就少不了用数学， 研究量的关系， 量的变化， 量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。 随着科学技术的飞速发展，人们越来越认识到数学科学的重要性：数学的思 考方式具有根本的重要性，数学为组织和构造知识提供了方法，将它用于技术时 能使科学家和工程师生产出系统的、能复制的、且可以传播的知识数学科学 对于经济竞争是必不可少的， 数学科学是一种关键性的、 普遍的、 可实行的技术。 在当今高科技与计算机技术日新月异且日益普及的社会里， 高新技术的发展 离不开数学的支持，没有良好的数学素养已无法实现工程技术的创新与突破。因 此， 如何在数学教育的过程中培养人们的数学素养，让人们学会用数学的知识与 方法去处理实际问题，值得数学工作者的思考。 大学生数学建模活动及全国大学生数学建模竞赛正是在这种形势下开展并 发展起来的，其目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和 运用计算机技术解决实际问题的综合能力，拓宽学生的知识面，培养创造精神及 合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和教学方法的改革。 在现代的社会生活中，到处可见模型的存在，而各种模型的存在都在一定的 程度上离不开数学建模的学习。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的学 科，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。 数学技术的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得 数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库， 数学已经成为一种能够 普遍实施的技术。近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用 不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度 和深度向经济，管理，金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域 渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号，数学式子， 程序， 图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观 现象， 或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的 最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既 需要人们对现实问题深入细微的观察和分析， 又需要人们灵活巧妙地利用各种数 学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建 模（Mathematical Modeling）。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题， 还是与其它学科相 结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计 算求解（通常借助计算机）；数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓 是如虎添翼。 3 第一章第一章 数学建模数学建模 一、数学建模的起源一、数学建模的起源 数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的,我国的几所大 学也在 80 年代初将数学建模引入课堂。 经过 20 多年的发展现在绝大多数本科院 校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座， 为培养学生利用数 学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。 大学生数学建模竞赛最早是 1985 年在美国出现的。为了培养数学型应用人 才， 激励大学生应用所学知识来解决实际问题，美国最先开始研究组织运用数学 知 识来解决实际问题的一项比赛， 并在 1985 年顺利举办了美国第一届数学建 模竞赛。1989 年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大 学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占 到相当大的比例.可以说,数学建模竞赛是在美国诞生、在中国开花、结果的。 1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10 城市的大学生数学模 型联赛，74 所院校的 314 队参加。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一 新生事物，决定从 1994 年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主 办全国大学生数学建模竞赛,每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长 25%以上的速度发展。 全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。 本竞赛 每年 9 月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共 3 天,72 小时）举行,竞 赛面向全国大专院校的学生,不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛 所有大学生均可参加,专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。 2009 年全国有 31 个省/市/自治区(包括香港)1023 所院校、12846 个队（其 中甲组 10384 队、乙组 2462 队）、3 万 8 千多名来自各个专业的大学生参加竞 赛,是历年来参赛人数最多。 二、数学建模的定义二、数学建模的定义 模型(Model)是实物、过程的表示形式,是人们认识事物一种概念框架,用某 种形式来近似地描述或模拟所研究的对象或过程。 模型可分具体模型和抽象模型, 数学模型就是抽象模型的一种。 数学模型(MathematicalModel)是对于部分现实世界的一个特定对象,为了 一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数 学工具，得到一个抽象、简化的数学结构。简单地说：数学模型是关于部分现实 世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。具体来说，数学模型就 是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图 表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。 数学建模是通过建立数学模型来解决各种实际问题的方法， 也就是对实际问 题进行抽象、简化，从而确定出变量和参数，应用某些规律建立起变量、参数间 4 的某种关系的数学模型。并求解数学模型，进而对所得结论进行灵敏度分析和合 理的推广。数学建模本质可以说是一种数学的思考方法，是对实际的现象通过心 智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示， 常常是形象化或符号的数学表 示。简而言之，数学建模就是用数学的方法解决实际问题。当我们遇到一个实际 问题时，首先对其进行分析，把其中的各种关系用数学的语言描述出来。这种用 数学的语言表达出来的问题形式就是数学模型。一旦得到了数学模型，我们就将 解决实际问题转化成了解决数学问题。然后，就是选择合适的数学方法解决各个 问题，最后将数学问题的结果作为实际问题的答案。当然，这一结果与实际情况 可能会有一些差距， 所以我们就要根据实际情况对模型进行修改完善， 重新求解， 直至得到满意的结果。实际上，数学建模对于同学们来讲并不是全新的事物，在 中小学阶段做的数学应用题就是数学建模的简单形式。 它作为联系数学与实际问题的桥梁，在高新技术领域，数学建模是必不可少 的工具。在培养学生过程中，数学建模教学对启迪学生的创新意识和创造思维、 培养综合素质和实践动手能力起到了很重要的作用， 是培养创新型人才的一条捷 径。 数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型 的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、 决策的结果。 其实， 数学建模对我们来说并不陌生， 在我们的日常生活和工作中， 经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线， 以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出 一个合理安排生产和销售的最优方案这些问题和建模都有着很大的联系。 三、数学建模的特点三、数学建模的特点 我们已经看到建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段。 数学模型有许 多优点，也有弱点。在同一个问题中，数学模型和数学建模是两个不同的概念， 它们的侧重点不同，数学模型注重结果，数学建模注重过程。建模需要相当丰富 的知识、经验和各方面的能力，同时应注意掌握分寸。下面归纳出数学模型的若 干特点： （1）数学模型的逼真性与可行性。一个非常逼真的模型在数学上常常是难以处 理而且非常复杂，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或 者控制的目的，即实用上不可行；另外，越逼真的模型费用越高，不一定能获得 相应的效益，所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，费用与效益之间做 出折衷和抉择。 （2）数学模型的渐进性。对于较复杂的实际问题，往往需要多次由简到繁、由 繁到简的反复迭代才能建立令人满意的模型。 （3）数学模型的强健性。模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确 定的，而观测数据是允许有误差的。一个好的模型应该具有下述意义的强健性： 当观测数据(或其他信息)有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一 般也应导致模型求解的结果有微小变化。 （4）数学模型的可转移性。模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对 象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内建 模就常常借用物理领域中的模型。模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛 性。 5 （5）数学模型的局限性。这里有几方面的含义：第一，由于在建模过程中忽略 了一些次要因素，于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的。第二，由于 人的认识的局限性、技术的局限性、数学水平本身的限制，不少实际问题很难得 到有着实用价值的数学模型。第三，还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模 方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程。 （6）数学模型的非预制性。建模本身常常是事先没有答案的问题，在建立新的 模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生。 （7）数学模型的条理性。从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分 析更全面、更深入、更具条理性。 （8）数学模型的技艺性。建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解 法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。有入说，建 模目前与其说是一门技术，不如说是一种艺术，是技艺性很强的技巧。经验、想 象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体 的数学知识更大。 另外，数学建模还具有目的性和多样性等特点。 根据数学建模的特点，在建立模型时应注意以下问题： （1）对给的问题有个全面的思考，一个实际问题往往受多个因素的影响，所以 得综合考虑各种因素，必要时可以适当地忽略个别因素； （2）创造性地改造原有模型或自己创新的模型，一篇优秀的论文主要看它有无 创新，是否在论文中有自己独到的见解。 （3）擅长在简单和复杂、准确