四川省成都市2023～2024学年高二数学下学期3月月考试题[含答案]

一单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1. 记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（）A. B. C. D. 是等比数列【答案】A【解析】【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.【详解】对于A，已知，所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，符合上式所以是通项为的等比数列，A选项正确；对于B，已知，所以，不符合上式所以，B选项错误；对于C，已知，当首项为零时，不符合题意，C选项错误；对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为不符合等比数列的通项公式，D选项错误；故选：A.2. 椭圆的焦距为2，则为（）A5或13B. 5C. 8或10D. 8【答案】C【解析】【分析】分焦点位置进行讨论，进一步计算即可.【详解】因为椭圆的焦距为2，则且，当焦点在轴上时，则，则，当焦点在轴上时，则，则，故的值为8或10，故选：C.3. 如图，在三棱锥中，点满足，则（）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解.【详解】，所以，故故选：C.4. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事件B：2个球中恰有1个红球，事件C：2个球至少有1个红球，事件D：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（）A. 事件A与事件互斥B. C. 事件A与事件D对立D. 【答案】C【解析】【分析】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，根据互斥和对立事件的定义分析判断AC；根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法分析判断BD.【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，可知，相互独立，于是：，由此可得：可能同时发生，A错误；互为对立事件，C正确；因为，所以，B错误；因为，所以，D错误.故选：C5. 已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，由，即可求解结果【详解】因为，为等差数列，且，所以可设，则，.故选：D.6. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（）A. 0或2B. 0或C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线的距离关系列式求解即可.【详解】设直线与曲线的切点为，由，则，则，即切点为，所以直线为，又直线与圆都相切，则有，解得或故选：A7. 南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（）A. 4862B. 4962C. 4852D. 4952【答案】D【解析】【分析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23，满足：，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值【详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故选：D8. 已知等比数列的公比为，其前项和为，且，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可求得 ，为奇数时， 根据单调性可得： ，为偶数时，根据单调性可得： ，可得的最大值与最小值分别为2， 考虑到函数 在上单调递增，即可得出结论【详解】等比数列的公比为，因为，成等差数列，所以，解得，所以，当为奇数时，易得单调递减，且，所以；当为偶数时，易得单调递增，且，所以所以的最大值与最小值分别为2，函数在上单调递增，所以所以的最小值故选：B【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n项和，通过分类讨论并利用函数单调性求得的最大值和最小值，再由函数在上单调递增且，可求取值范围.二多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分）9. 一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在内，则（）A. 图中B. C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为71，则甲将会被邀请参与产品改进会议【答案】ABC【解析】【分析】由频率分布直方图数据求解.【详解】由频率分布直方图可知：，解之得，A正确；评分落在内的有8人，所以，B正确；评分的平均数为，C正确；，所以甲不会被邀请，D错误.故答案为：ABC10. 下列说法正确的是（）A. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30B. 已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为C. 已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7D. 已知函数，则【答案】BD【解析】【分析】根据平均变化率的概念，即可判断A是否正确；根据导数的概念，以及导数在物理和几何中的意义，即可判断BCD是否正确.【详解】由题意可知，故A错误；根据平均变化率的概念可知若函数从到平均变化率即为割线的斜率，即的斜率，所以割线的倾斜角为，故B正确.因为，根据速度与加速的关系可知时瞬时加速度为，故C错误；函数在点处的导数，由极限的意义可知，当充分小时，即，从而，又，所以，故D正确.故选：BD.11. 已知函数，动直线l过原点且与曲线相切，切点的横坐标从小到大依次为，.则下列说法错误的是（）A. B. 数列为等差数列C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】先依据题给条件求得，从而得到选项BC判断错误；再依据题给条件求得，进而得到选项A判断错误，选项D判断正确.【详解】，则，设切点坐标，则切线斜率则，整理得则选项BC错误；由，则选项D判断正确；若，则，则，这与题意矛盾，故选项A判断错误.故选：ABC三填空题（本大题共3小题，每5分，共15分）12. 设是随机事件，且，则_【答案】#0.125【解析】【分析】求出，从而根据事件的运算关系求出概率.【详解】因为，所以，故故答案为：13. 已知点M在抛物线上运动，过点M的两直线，与圆相切，切点分别为A，B，则当取最小值时，点M的坐标为_【答案】【解析】【分析】根据圆的性质及三角形等面积法，可得，故当最小时，最小.根据二次函数求出何时取最小值即可得解.【详解】依题意，C点坐标为.如图，设，设与交于H根据圆的性质，有，且在中，而，则，所以，当最小时，最小又，当且仅当时，取得最小值，此时故答案为：14. 已知向量在向量上的投影向量的模为，则_，使为整数的n的值按照从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n项和_【答案】 . 5 . 【解析】【分析】利用投影向量的定义可求出，得到；分析为整数时，对应的的值，得到新数列，再求新数列的前项的和.【详解】因为，所以通过计算可得，当或时，均不是整数，当时，由此可得新数列为5，18，31，44，该数列是首项为5，公差为13的等差数列，所以故答案为：5；四解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）15. 已知曲线，求（1）曲线过点切线方程；（2）曲线平行于直线的切线方程.【答案】（1）或.（2）或【解析】【分析】（1）设出切点，写出切线方程，代入点，即可求得切线方程.（2）设出切点，用导数求得切点处切线的斜率与已知直线斜率相等，进而求出切点，写出切线方程.【小问1详解】因为切点在曲线上，所以可设切点为，求导得，则，则切线方程为，因为切线过，代入切向方程得：化简得，则或所以曲线过点的切线方程为：或.【小问2详解】直线的斜率为，设切点为，则由（1）知切线方程为，则由切线与直线平行得，即或，所以切线方程为或，即或16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，点为的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）连接OP，利用勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理即得.（2）建立空间直线坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】连接OP，BD，如图：由底面为菱形，得，则，又O为AD的中点，有，在中，O为AD的中点，则，设，则，即，于是，又，平面，平面，所以平面；【小问2详解】由，平面，则平面，又平面，于是，由（1）知直线两两垂直，以O为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：设，则，由（1）知平面，则取与平行的向量作为平面的法向量，设平面PBC的法向量为，则，令，得，设平平面与平面所成二面角为，显然为锐角，则，所以平面与平面所成二面角的余弦值为.17. 已知数列的前项和为.数列的首项，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等比数列；（3）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用与的关系即可求解；（2）利用倒数法及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；（3）根据（1）（2）的结论，求出，利用数列求和中的分组求和法、等差数列的前项和公式及错位相减法即可求解【小问1详解】当时，当时，当时，依然成立，所以的通项公式是.【小问2详解】由，得，.又.故是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.【小问3详解】由（1）（2）知，则.令，得，.18. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点在上，（1）求双曲线的标准方程（2）若过焦点且斜率存在的直线与双曲线的右支交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题中条件可得出关于、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程；（2）设直线的方程为，设点，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，写出线段的垂直平分线方程，求出点的坐标，求出、，利用正弦定理可求得的值.【小问1详解】解：由点在双曲线上，可得因为，所以又，所以，所以双曲线的标准方程为小问2详解】解：为定值，理由如下：设