四川省成都市2024届高三数学下学期三诊模拟考试理

时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若向量与向量是共线向量，则实数等于（ ）A2BCD02复数（其中为虚数单位）的共轭复数为（ ）ABCD3已知全集，集合，则等于（ ）ABCD4的展开式中，第5项为常数项，则正整数等于（ ）A8B7C6D55三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四条棱中，棱长最大值为（ ）ABCD26已知，则（ ）A3BC或0D3或07已知圆，直线，则“”是“圆上任取一点，使的概率小于等于”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要8有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10乙班30附：0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）A甲班人数少于乙班人数B甲班的优秀率高于乙班的优秀率C表中的值为15，的值为50D根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”9若，则的大小关系为（ ）ABCD10已知函数，若，则（ ）ABCD011已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为双曲线上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）A双曲线的渐近线方程为B双曲线的离心率为C若，则的面积为D以为圆心，为半径的圆与渐近线相切12设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）AB4CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13某班男女生的比例为，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为_14抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点（在第一象限），分别过作准线的垂线，垂足分别为，若，则直线的倾斜角等于_15在中，角所对的边分别为，若，则_16在三棱柱中，平面是矩形内一动点，满足，则当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）某保险公司为了给年龄在2070岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元年龄保费（）用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费至少为多少元？（精确到整数）（）随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在和的老人中各随机选取1人，记表示选取的这2人中患该疾病的人数，求的数学期望18（本小题满分12分）已知数列的前项和为（）证明：数列是等比数列，并求出通项公式；（）设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和19（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面是棱的中点，在棱上，且（）证明：平面；（）若四棱锥的体积等于1，求二面角的余弦值20（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆过点，直线与椭圆相交于不同于点的，两点，为线段的中点，当直线斜率为时，直线的倾斜角等于（）求椭圆的方程；（）直线分别与直线相交于两点线段的中点为，若的纵坐标为定值，判断直线是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由21（本小题满分12分）已知函数（）若，证明：；（）若函数在内有唯一零点，求实数的取值范围请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程（t为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线相交于两点（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）设点是直线上一点，满足，求点的直角坐标23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（）求不等式的解集；（）若函数的最小值为，正数满足，证明：成都七中高2024届三诊模拟考试数学试题（理科参考答案）一、选择题：CBBCADCDABDA二、填空题：13174 14 15 16三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（），解得保险公司每年收取的保费为：所以要使公司不亏本，则，即，解得，即保费元；（）由题意知的取值为0，1，2，18解：（），相减得，即，所以数列是以4为公比的等比数列，又，所以（），19解：（）面，又，平面，又平面，由得：为棱的中点，连接交于，连接交于，连接，在中，交，平面，平面；（）设，四棱锥的体积为，解得，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的法向量为，由，得，令，得，取平面的法向量，因为二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为20解：（）由已知得，设中点为由相减得，得，即所以椭圆方程为（）设，所以，即，同理，设直线过点是方程的两根即，整理得，所以直线过点21解：（）当时，不等式等价于，则，令函数，则，所以函数在上单调递增，且，在上恒成立，即函数在上单调递增，且，所以时，不等式成立；（）当时，由（）可知此时，所以此时函数没有零点，与已知矛盾，令函数，所以，令函数，若，所以函数在上递增，且，使函数在上递减，在上递增，若时，显然，所以函数在上递减，在上递增，且，使函数在上递减，在上递增，又，且，使得，综上得，当时，函数在内有唯一零点，的取值范围是22解：（）由得，即直线的普通方程为，由得：，即曲线的直角坐标方程为；（）设直线的参数方程为，代入得：，整理得，设点对应的参数分别为，且解得，或者所以求点的直角坐标为或（或者利用普通方程求出的坐标，从而求出的坐标）23解：（）不等式等价于，当时，得，当时，得，此时无解，当时，得，综上，不等式的解集为；（），当时取等号，即，相加得，所以不等式成立