四川省泸州市2025届高三第三次教学质量诊断性考试数学试卷

四川省泸州市2025届高三第三次教学质量诊断性考试数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题12025届·四川泸州·三模已知集合，则( )A.B.C.D.1答案：B解析：因为，所以，故选：B.22025届·四川泸州·三模已知复数z满足，则( )A.B.C.D.2答案：D解析：，所以，故选：D.32025届·四川泸州·三模的展开式中，常数项等于( )A.B.15C.D.203答案：B解析：二项式，可得：，即令x的次数，解得.可得常数项为.故选：B.42025届·四川泸州·三模已知，则( )A.B.C.D.4答案：C解析：因为，所以，其中不符题意，所以，所以，故选：C.52025届·四川泸州·三模已知函数，对满足恒成立，则a的值为( )A.B.1C.D.25答案：A解析：因为，所以，即，即，即，即，即，即，即，所以，故选：A.62025届·四川泸州·三模已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为( )A.B.1C.D.26答案：A解析：将代入，得，所以，得.因为函数在上为增函数，此时，所以，解得，所以当时，故选：A.72025届·四川泸州·三模已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为( )A.B.C.D.7答案：C解析：设圆台的高为h，其外接球的半径为R，因为圆台的体积为，可得，解得，若球心在圆台的内部，可得，解得，所以外接球的表面积为；若球心在圆台的外部，可得，此时无解，综上可得，外接球的表面积为.故选：C.82025届·四川泸州·三模已知椭圆的焦点分别为，过的直线与C交于P，Q两点，若，且，则C的离心率为( )A.B.C.D.8答案：C解析：如图，设，则.由椭圆定义可得：，则，.因，则.则，又，则.故选：C二、多项选择题92025届·四川泸州·三模已知10个互不相同的样本数据，的平均值为，则关于新样本数据，下列说法正确的是( )A.极差不变B.平均数变大C.方差变小D.中位数变小9答案：AC解析：因为极差是数据中最大值与最小值的差值，新样本数据，的最大值和最小值与原样本，的最大值和最小值相同，所以极差不变，故A正确；因为，的平均值为，所以新样本数据，的平均值为，故B错误；设，的方差为，则新样本数据的方差为，所以方差变小，故C正确；根据中位数的概念可知，中位数可能变小，也可能变大，故D错误.故选：AC.102025届·四川泸州·三模在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，则下列说法正确的是( )A.对任意直线l，均有B.若，则C.面积的最小值为16D.以为直径的圆与C的准线不可能相切10答案：ACD解析：由题意可知直线l的斜率不为0，故设其方程为，设，联立得，则，则，则，故A正确；因，则，与式联立得，则，故B错误；，则，等号成立时，故C正确；取线段的中点E，过点E往准线作垂线，垂足为N，因，则，则，则，则，即，则以为直径的圆与C的准线相离，故D正确.故选：ACD112025届·四川泸州·三模若函数的图象上存在k个不同点，且在这k个点处的切线的斜率相等，称该函数存在k点切线，则下列说法正确的是( )A.函数存在k点切线B.函数存在k点切线C.若函数为单调函数，则该函数不存在k点切线D.若函数存在3点切线，则a的取值范围是11答案：ABD解析：A，由，得，结合余弦函数性质可知，当时，且是周期函数，在R上存在无数多个点，使得在这些点处的切线的斜率相等，故A正确；B，由得，当时，得，此时存在两点使得在这两点处的切线的斜率相等，故B正确；C，函数在R上单调递增，则，当时，此时存在两点使得在这两点处的切线的斜率相等，故C错误；D，由，得，因函数存在3点切线，则，使得在上存在3个根，令，则，令，则，当即时，则在上单调递减，则在上至多存在一个实数根，不符合题意；当即或时，若，有的对称轴，且，则在上恒成立，则，则在上单调递减，则在上至多存在一个实数根，不符合题意；若，设的两个零点为，不妨设，则，则，则得；得或，则在上单调递增，在和上单调递减，当时，当时，取t为和0的较小值，则当时，在上存在3个根，综上可知，若函数存在3点切线，则a的取值范围是，故D正确.故选：ABD三、填空题122025届·四川泸州·三模已知向量，满足，且，则_.12答案：解析：因为，且，所以，即，所以，所以，故答案为：.132025届·四川泸州·三模某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了1个吹奏节目，2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法种数为_.（用具体数字作答）13答案：144解析：吹奏节目排在最前或最后，共有2种排法；剩余2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，要求2个弹拨节目不能相邻，所以排列非弹拨节目，共有种排法，其非弹拨节目3个，形成4个空，再排放个弹拨节目，共有排法，因为弹拨节目有顺序，所以弹拨节目插入方式共有种排法，所以除吹奏外，排列方式共有种；所以不同的排法种数为，故答案为：144.142025届·四川泸州·三模在中，若，则的最大值为_.14答案：解析：因为，即，即，即，即，两边同时除以，得，即，令，则，则，令，则，令，则或，当时，所以在上单调递增，当或时，所以在，上单调递减，所以当时，当时，所以的最大值为，故答案为：.四、解答题152025届·四川泸州·三模某校课题组在高一年级选取A，B两个班级，开展“数学问题深度学习”的研究，其中A班为常规教学班，B班为课改研究班，两个班级的人数分别为50人.在某次数学测试后，对A，B两班学生的数学成绩（单位：分）进行整理，分数分布在内，按照，分组，得到如下的频率分布直方图，并规定：小于120分为不优秀，大于或等于120分为优秀.(1)由以上统计数据填写下面的列联表，并根据相关数据判断，能否有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关？(2)对A，B两班成绩在110分以下的学生，按照班级进行分层，采用分层随机抽样的方法抽出6人，再从抽取的这6人中随机抽取2人，记X为抽取的2人中来自A班的人数，求X的分布列和数学期望.附：，.数学成绩A班B班总计优秀不优秀总计0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.63515答案：(1)表格见解析；有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关(2)分布列见解析，解析：（1）由图可知，A班优秀人数为：；B班优秀人数为：；数学成绩A班B班总计优秀223254不优秀281846总计5050100，所以有95%的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关.（2）由图可知，A班110分以下人数为：；B班110分以下人数为：；采用分层随机抽样的方法抽出6人中，A班有4人，B班有2人，X所有取值为：0，1，2；，；分布列为X012P.162025届·四川泸州·三模已知函数.(1)当时，求的极大值；(2)若在有最小值，且最小值大于，求a的取值范围.16答案：(1)(2)解析：（1）当时，令，解得或，当或，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以当时，的极大值为.（2），当时，单调递增，无最小值，不符题意；当时，令，则或，当时，所以单调递增，无最小值，当时，当，当，所以在单调递减，在上单调递减，所以当时，有最小值，最小值为，所以，即，化简得，即，解得，即.172025届·四川泸州·三模在四棱锥中，底面是梯形，.(1)证明：平面平面；(2)若是正三角形，点E是棱上的动点，当平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长度.17答案：(1)证明见解析(2)1解析：（1）设，则，；梯形中，所以;因为，所以;因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）因为，所以，是边长为2的正三角形.以D为原点，分别为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，由平面平面可知，设，;，设平面的一个法向量为，则，令可得；设平面的一个法向量为，则，令可得；因为平面与平面的夹角的余弦值为，所以，解得或（舍）；所以的长度为1.182025届·四川泸州·三模已知数列的前n项和为，且满足，若.(1)求数列的通项公式；(2)设，（）试比较与的大小，并说明理由；（）若数列的前项和为，求证：.18答案：(1)(2)（）；（）证明见解析解析：（1）当时，由题意，；当时，两式相减可得，所以，即，因为，所以.（2）因为，所以；当n为奇数时，；当n为偶数时，；令，则，即为增函数，则当时，；（）因为，所以；（i）当n为奇数时，因为，所以，因为，所以；当n为偶数时，因为，所以，因为，所以；综上，.192025届·四川泸州·三模已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为，点在C上.(1)求C的方程；(2)过点的直线l交双曲线C于M，N两点.（）若l与C的渐近线交于点A，B，且（O是坐标原点），求l的方程；（）记，若点R满足，求点R的轨迹方程.19答案：(1)(2)（i）或；（ii）解析：（1）由双曲线，可得右顶点为，其中一条渐近线方程为，因为双曲线C经过点，可得，又因为右顶点到渐近线的距离为，可得，联立方程组，解得，所以双曲线C的方程为.（2）（）由双曲线，可得渐近线方程为，即，设直线l的方程为，且，联立方程组，整理得，则且，解得，可得，则，即，所以，联立方程组，解得，所以，因为，可得，解得，所以直线l的方程为，即或.（）设，由，可得，可得，因为M，N在曲线C上，可得，所以，解得，所以又由，可得，即，即，将和，代入化简得，因为，可得，所以点R的轨迹方程为.第 17 页 共 17 页四川天地人教育资料出品