安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试卷

安徽省安庆市2025届高三第三次模拟考试数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题12025届·安徽安庆·三模复数的共轭复数是( )A.B.C.D.i1答案：C解析：由题意知,令,所以复数的共轭复数为,故选:C22025届·安徽安庆·三模等比数列中的,是函数的极值点,则( )A.1B.C.D.2答案：A解析：由求导得.由或;由.所以函数在和上单调递增,在上单调递减.所以函数的极大值点为,极小值点为.由题意可知,所以.故选:A32025届·安徽安庆·三模已知向量，满足，且，则( )A.1B.C.D.23答案：A解析：由已知，即，又，则，解得，故选：A.42025届·安徽安庆·三模曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为( )A.B.C.D.14答案：A解析：,所以在点处的切线方程为,它与的交点为,与的交点为,所以三角形面积为故选:A52025届·安徽安庆·三模已知函数满足,当时,则( )A.2B.4C.8D.185答案：C解析：因为,所以.因为,所以.故选:C.62025届·安徽安庆·三模正四棱台上底面边长为1,下底面边长为2,若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径,则正四棱台与该球的体积之比为( )A.B.C.D.6答案：B解析：如图作出正四棱台的轴截面图,可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆,根据,设球的半径为R,则由直角三角形中的勾股定理得:,利用等面积法:,可得:,解得:,再由棱台体积公式得:,由球的体积公式得:,所以正四棱台与球的体积之比是:,故选:B.72025届·安徽安庆·三模已知点在圆上,则的最小值为( )A.1B.C.D.7答案：B解析：设,则,整理后,与已知P轨迹方程展开整理得:,对照,得,解得,所以.则当P、B、M三点共线时取得最小值故选:B.82025届·安徽安庆·三模已知函数,若对于任意的使得不等式成立,则实数a的取值范围( )A.B.C.D.8答案：A解析：因为,由可得,即函数的定义域为,可得,即,构造函数,其中,则,故函数在上单调递增,所以,可得,则,即,其中,令,其中,则,当时,此时函数单调递减,当时,此时函数单调递增,所以,解得.综上,故选:A.二、多项选择题92025届·安徽安庆·三模一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球,从中无放回的随机取两次,每次取1个球,记事件:第一次取出的是红球;事件:第一次取出的是白球;事件B:取出的两球同色;事件C:取出的两球中至少有一个红球,则( )A.事件,为互斥事件B.事件B,C为独立事件C.D.9答案：ACD解析：第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生,它们是互斥的,A正确;由于是红球有3个,白球有2个,事件B发生时,两球同为白色或同为红色,事件B不发生,则两球一白一红,B,C不独立,B错;,C正确;事件发生后,口袋中有3个红球1个白球,只有从中取出一个红球,事件C才发生,所以,D正确.故选:ACD.102025届·安徽安庆·三模设函数,则( )A.当时,有三个零点B.当时,无极值点C.,使在R上是减函数D.,图象对称中心的横坐标不变10答案：BD解析：对于A,当时,求导得,令得或,由,得或,由,得,于是在,上单调递增,在上单调递减,在处取得极大值,因此最多有一个零点,A错误;对于B,当时,即恒成立,函数在R上单调递增,无极值点,B正确;对于C,要使在R上是减函数,则恒成立,而不等式的解集不可能为R,C错误;对于D,由,得图象对称中心坐标为,D正确.故选：BD.112025届·安徽安庆·三模如图,棱长为2的正方体中,P,Q分别是棱,棱的中点,动点M满足,其中,则下列结论正确的是( )A.若,则B.若,则三棱锥的体积为定值C.若,则直线与直线所成角的最小值为60°D.若动点M在三棱锥外接球的表面上,则点M的轨迹长度为11答案：ABD解析：以D为坐标原点,所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,所以,即,所以,又,所以,所以,所以,故A正确;因为,所以点在直线上,又因为,所以四边形是平行四边形,所心,又平面,平面,所以平面,所以M到平面的距离为定值,又的面积为定值,所以三棱锥的体积为定值,故B正确;点P为的中点,坐标为,点的坐标为,向量,向量,设直线与直线所成的角为,又因为,当时,即直线与直线所成角的最小值为,故C错误;因为三棱锥即为三棱锥,又底面是直角三角形,过的中点N作平面,O是三棱锥外接球的球心,因为平面,所以,又,所以三棱锥外接球的半径,因为点M在平面内,又在三棱锥外接球的表面上,所以M的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆,又易得O到平面的距离为1,所以截面圆的半径为,所以M的轨迹的周长为,故D正确.故选:ABD.三、填空题122025届·安徽安庆·三模已知,则_.12答案：解析：因为,所以,所以.故答案为:.132025届·安徽安庆·三模已知函数的图象在处的切线经过坐标原点,则实数_.13答案：解析：因为,所以,所以,又,所以在处的切线方程为:,又切线方程过原点,把代入得,解得:.故答案为:.142025届·安徽安庆·三模已知双曲线（,）的左、右焦点分别为,若在C上存在点P（不是顶点）,使得,则C的离心率的取值范围为_.14答案：解析：设与y轴交点,连接,由对称性可知,如图所示,又,.又,在中,由,且三角形的内角和为,即,则综上,.故答案为:.四、解答题152025届·安徽安庆·三模已知数列中,设为前n项和,.（1）求的通项公式;（2）若,求数列的前n项和15答案：（1）（2）解析：（1）数列中,为前n项和,当时,当时,由-得:,即,当时,递推可得:,由累乘法可得:,又因为,所以,即,经检验,当时符合上式,所以;（2）由（1）可知,所以:,所以;所以数列的前n项和.162025届·安徽安庆·三模如图,四棱锥中,平面平面,M为棱上一点.（1）证明:;（2）若平面,求直线与平面所成角的正弦值.16答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）取AD中点O,连接PO,CO,平面平面,平面平面,平面平面平面,即又平面,平面平面,（2）连接,设,连接平面,平面,平面平面,易知,取BC中点N,连接ON,则OA,ON,OP两两互相垂直.分别以OA,ON,OP为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系则,设平面的一个法向量则即令,则设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的.正弦值为172025届·安徽安庆·三模已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜m局指的是一方比另一方多胜m局.（1）如果约定先净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率;（2）如果约定先净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜局.设甲在净胜i局时,继续比赛甲获胜的概率为,比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为,期望为.求甲获胜的概率;求.17答案：（1）（2）;.解析：（1）4局结束比赛时甲获胜,则在前2局甲乙各胜一局,并且第3,4局甲胜,概率为;4局结束比赛时乙获胜,则在前2局甲乙各胜一局,并且第3,4局乙胜,概率为,所以恰好4局结束比赛的概率为.（2）在甲净胜局前提下,继续比赛一局:若甲赢,则甲的状态变为净胜局,继续比赛获胜的概率为;若甲输,则甲的状态变为净胜局,比赛结束,根据全概率公式,同理,由,得,与联立消去,得,又,得,与联立消去,得,所以甲获胜的概率为.在甲净胜局前提下,继续比赛一局:若甲赢,则甲的状态变为净胜局,继续比赛至结束,还需要局,共进行了局;若甲输,则甲的状态变为净胜局,比赛结束,共进行了1局,则,即,同理,即,即,即,即联立与,得,联立与,得,代入,得,所以.182025届·安徽安庆·三模已知点为椭圆的右端点,椭圆E的离心率为,过点的直线l与椭圆交于两点,直线分别与y轴交于M,N点.（1）求椭圆E的标准方程;（2）试判断线段的中点是否为定点,若是,求出该点纵坐标,若不是,说明理由.18答案：（1）（2）是,MN的中点为解析：（1）由题意得,又,解得,所以椭圆E的标准方程为;（2）设,因为直线l经过且与椭圆交于BC两点,所以直线BC的斜率一定存在,故设直线BC的方程为:,其中,由得:,得;,又因为直线AB的方程:,得,同理由故MN的中点为.192025届·安徽安庆·三模已知函数.（1）当时,求的极值;（2）若,求a的值;（3）求证:.19答案：（1）在处取得极小值0,无极大值（2）（3）证明见解析解析：（1）当时,则,当时,单调递减,当时,单调递增,所以在处取得极小值0,无极大值;（2）由题意得,当时,所以在上单调递增,所以当时,与矛盾;当时,当时,单调递减,当时,单调递增,所以,因为恒成立,所以,记,当时,单调递增,当时,单调递减,所以,所以,又,所以,所以;（3）证明:先证,设,则,所以区间上单调递减,所以,即,所以,再证,由（2）可知,当时等号成立,令,则,即,所以,累加可得,所以.第 18 页 共 18 页四川天地人教育资料出品