极限存在准则与两个重要极限IV

§1.8 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限1.8.1 极限存在准则极限存在准则定理定理1.8.1(夹逼定理夹逼定理) 若函数若函数满足：满足：则则单单增增有有上上界数列必收敛界数列必收敛. 单单减减有有下下界数列必收敛界数列必收敛. 定理定理1.8.2 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.例例1 利用夹逼定理求利用夹逼定理求解：因为解：因为而而练习：证明练习：证明例例2 设设a>0,证明证明xn极限存在极限存在,并求极限并求极限.证：证：再证数列有界再证数列有界 用数学归纳法用数学归纳法:假设假设则则先证该数列单调先证该数列单调 用数学归纳法用数学归纳法:设设则则证得数列证得数列单调有界单调有界,故极限存在故极限存在.设设由由两边取极限得：两边取极限得：解得解得即即xn有界有界.为什么？为什么？1.8.2 1.8.2 两个重要极限两个重要极限1.可设可设即即<<即即证证: 先设先设<<D由夹逼定理得：由夹逼定理得：例例1 求求= 1例例2 求求解：解：= 3练习：练习：一般的，有一般的，有例例4 求求例例3 求求= 2.解：令解：令则则例例5 求求2. 用于解决幂指函数的极限问题，其特点是：用于解决幂指函数的极限问题，其特点是：其经济背景是连续复利的计算问题，见教材其经济背景是连续复利的计算问题，见教材59-60页页.例例6 求求例例7 求求例例8 求求例例9 求求例例10 求求解：原式解：原式=例例11 求求解：解： 练习：练习：=1.