第13讲：第四章刚体平面运动-2经典

第四章 刚体的平面运动,三、 瞬心法,基点：A,一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。,平面图形上是否在每一瞬时都一定存在惟一的一点其速度为零呢？,基点：C,平面图形内各点的速度分布,平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。,讨论：瞬心与轴心的异同,速度瞬心的确定方法,1,已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 ， 过A , B两点分别作速度 的垂线,交点C即为该瞬间的速度瞬心.,2,瞬时平移(瞬心在无穷远处),3,讨论：瞬时平动与平动的异同,已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直。此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动. (此时各点的加速度不相等),纯滚动(只滚不滑)约束,运动方程,4,轮与地面接触点C为瞬心,已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则图形与固定面的接触点C为速度瞬心,需要强调的是，速度瞬心在平面图形及扩展部分上的位置是随时间变化的。,对运动中的车轮拍照，有的部分模糊，有的部分清晰。为什么？,已知图形上一点的速度 和图形 角速度 可以确定速度瞬心的位置。（C点） 且C在 绕A点顺 转向转90º的方向一侧,小知识：一刹那有多久,在日常生活中经常可以见到“刹那”、“瞬间”、“弹指”、“须臾”等字眼，似乎都表示非常短的时间概念，但它们具体有多长时间呢？古代梵文僧祗律上这样写道：“一刹那者为一念，二十念为一瞬。二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜有三十须臾。”据此，我们可以推算出具体的时间：一天一夜有24小时，其中包含30个“须臾”，或者12000个“弹指”，或者24万个“瞬间”，或者480万个“刹那”。细细算来，一昼夜有86400秒，所以，一“须臾”等于2880秒，一“弹指”等于7.2秒，一“瞬间”为0.36秒，而一“刹那”只有0.018秒。,一须臾 一刹那为一念， 二十念为一瞬， 二十瞬为一弹指， 二十弹指为一罗预， 二十罗预为一须臾， 一日一夜有三十须臾。 一昼夜有八万六千四百秒， 一“须臾”等于二千八百八十秒； 一“弹指”等于七点二秒； 一“瞬间”等于零点三六秒； 一“刹那”却只有零点零一八秒。,例5 用瞬心法解例1,解：AB作平面运动，速度瞬心为点C。,例6 矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG，GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。,求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。,解: 1 杆GE作平面运动,瞬心为 C1,2 杆BG作平面运动,瞬心 为C2,例 7,如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，已知轮心O以匀速vO前进。求轮缘上A，B，C和D各点的速度。,解：,注意，为求车轮的角速度，可利用车轮作无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点C 的速度为零，即,因为轮心O点速度已知，故选O为基点。,vC=0,其中 vCO 的方向已知，其大小vCO =R 。,基点法,例 7,应用速度合成定理，轮缘上C点的速度可表示为,求得之后，应用基点法各点的速度就很容易求得如下：,A点：,B点：,D点：,其中，i ，j 为x，y 轴的单位矢量。,例 7,C,A,B,D,O,x,y,车轮上与地面相接触的C点的速度为零即为车轮的瞬心。利用已知速度vO，可求得车轮的角速度为,此与以O点为基点求出的角速度完全相同，说明图形的角速度与基点选择无关。,车轮上点B的速度方向垂直于连线CB，大小为,同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果同前。,瞬心法,（顺时针）,例 7,在图中，杆AB长l，滑倒时B 端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度v沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。,例 8,解：,解法一、选A点为基点， A点的速度vA=v，则B点的速度可表示为,式中vB方向沿OB向下，vBA方向垂直于杆AB，由速度合成矢量图可得,基点法,所以,( 逆时针 ),例 8,解法二、也可以选B点为基点，则A点的速度可表示为,式中vB方向沿BO向下，vAB方向垂直杆AB，且vBA=AB·AB，但AB未知，而vA=v。由速度合成矢量图可得,例 8,所以,( 逆时针 ),因为杆AB上A点的速度已知，B点的速度方向也已知，故可求出杆AB的速度瞬心在C 点。,所得结果自然与前相同，但求解步骤却简单得多。,注意到 vA = v ，所以可以求得,瞬心法,( 逆时针 ),例 8,如图所示，节圆半径为r的行星齿轮II由曲柄OA带动在节圆半径为R 的固定齿轮 I 上作无滑动的滚动。已知曲柄OA以匀角速度O 转动，求在图示位置时，齿轮II节圆上M1，M2，M3和M4各点的速度。图中线段M3M4垂直于线段M1M2。,例 9,解:,所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 各点的速度分别为：,各点的速度方向如图所示。,因为A点的速度,行星齿轮 II 上与固定齿轮 I 的节圆相接触的C点是齿轮II的速度瞬心，所以可利用瞬心法求齿轮 II 上各点的速度。为此先求轮 II 的角速度。,例 9,图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度 = 2 rad·s1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面滚动。已知CD = 2CB，图示位置时A，B，E 三点恰在一水平线上，且CDED，试求此瞬时E点的速度。,A,B,C,O,D,E,例 10,30º,60º,解：,由速度投影定理，杆AB上 A，B点的速度在 AB 线上投影相等，即,摇杆 CD绕C点作定轴转动,轮E沿水平面滚动，轮心E的速度水平，由速度投影定理，D，E 两点的速度关系为,速度投影法,求得,例 10,30º,60º,图示机构中，曲柄OA以角速度0顺钟向转动。设OA=AB= r，BD= r ，在图示瞬时，O，B，C 在同一铅直线上，试求此瞬时点B和C的速度。,例 11,1. 分析作平面运动的连杆AB。,已知杆上A，B两点速度的方向。由A和B 分别作出 vA 和 vB 的垂线，所得交点Cv1 就是杆 AB 的速度瞬心。并且,所以，杆AB的角速度,（逆时针转向）,解：,速度瞬心法,连杆AB 和BC 均作平面运动。,例 11,此后就可以用瞬心法求B点的速度。因为,所以，B 点的速度大小等于,方向如图。,例 11,已知杆上B，C 两点速度的方向。得交点C2 就是杆BC 的瞬心。,点C 的速度大小,方向如图。,（顺时针转向）,杆BC 的角速度,2. 分析作平面运动的连杆BC。,例 11,如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是1 ，杆O2B的角速度是2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC 和O2B水平，而杆BC对铅直线的偏角 ；又O2B=b ，O1A= b。试求在这瞬时C 点的速度。,例 12,解：先求出A点和B点的速度。有,vA 和 vB 的方向如图。,以A点为基点分析C 点的速度，有,另外，又以B作为基点分析C 点的速度，有,比较以上两式，有,（1）,（2）,例 12,上式投影到 x 轴得,方向如图,所以,把 式分别投影到x，y轴上,例 12,例 12,于是得,图示一连杆机构，曲柄AB和圆盘CD分别绕固定轴A和D转动。BCE为三角形构件，B，C为销钉连接。设圆盘以匀速n0=40 rmin1顺时针转向转动，尺寸如图。试求图示位置时曲柄AB的角速度AB和构件BCE上点E的速度vE。,例 13,根据已知数据，得到：,故,曲柄AB的角速度,解：,C点速度已知， ，B点速度垂直于曲柄AB。根据速度投影定理得,1. 求曲柄AB的角速度AB 。,例 13,A,D,C,B,E,0,j,120,50,100,50,60,vC,由于构件BCE上C点的速度vC垂直于CE，根据速度投影定理可知E点的速度vE也应垂直于CE。应用速度投影定理， vB与vE在BE连线上的投影相等，即,式中,所以,2. 求E点的速度。,例 13,