控制理论基础第04章_稳定性

交通大学精品课程系列,2010.11,控制理论基础(I),第4章,塔科玛(Tacoma),第四章 控制系统的稳定性分析,4.1 稳定性的基本概念,4.2 代数判据,4.4 Nyquist稳定性判据,4.5 稳定性裕量,4.3 米哈伊洛夫稳定性判据,作业,4.1 稳定性的基本概念,例,稳定性的定义,稳定的充分必要条件,稳定的必要条件,课堂练习,控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。,稳定性的定义,稳定的平衡位置,不稳定的平衡位置,(a)稳定,(b)不稳定,注意：控制系统自身的固有特性，取决于 系统本身的结构和参数，与输入无关。,大范围稳定(globally stable) : 不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。,(a)大范围稳定,(b)小范围稳定,否则系统就是小范围稳定的(locally stable)。,注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。,(a)不稳定,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。,原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统必须具备一定的稳定裕量。,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：系统（渐近）稳定。,稳定的条件：,稳定的充要条件,理想脉冲函数作用下 R(s)=1。,对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。,由上式知： 如果pi和i均为负值, 当t时,c(t)0。,自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。,注意：稳定性与零点无关,系统特征方程,结果：“一个负实根一个零根”(?p142)，具有负实部，所以系统稳定。,系统稳定的必要条件,系统特征各项系数具有相同的符号，且无零系数。,设系统 特征根为p1、p2、pn-1、pn,各根之和,每次取两根乘积之和,每次取三根乘积之和,各根之积,全部根具 有负实部,某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。为被控对象水箱的传递函数；为执行电动机的传递函数； K1为进水阀门的传递系数； Kp为杠杆比； H0为希望水位高； H为实际水位高。,由系统结构图可得出系统的闭环特征方程为,令 ,为系统的开环放大系数，则特征方程展开写为为三阶系统,但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0 ，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。,无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使系统稳定。,结构不稳定系统,校正装置,Break,两个判据是等价的。无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性(p149)。,劳思判据,劳思(routh)阵列,赫尔维茨判据,赫尔维茨(Hurwitz)行列式,例,课堂习题,劳思判据的特殊情况,4.2 代数判据,性质：第一列符号改变次数= 系统特征方程含有正实部根的个数。,劳思阵列,特征方程：,劳斯阵列：,如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定； 如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。,控制系统稳定的充分必要条件： 劳思阵列第一列元素不改变符号。,“第一列中各数”,注：通常a0 > 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为 劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,劳思判据,劳思判据判定稳定性,劳斯判据判断系统的相对稳定性,特殊情况1：第一列出现0,特殊情况2：某一行元素均为0,劳思判据的特殊情况,各项系数均为正数,解决方法：用任 意小正数代之。,特殊情况1：第一列出现0,解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。,(各项系数均为正数),特殊情况2：某一行元素均为0,劳斯阵列出现全零行：辅助方程必定是关于s2的多项式方程。原方程的一部分根，就是辅助方程的根。辅助方程中令 s2 = z，得到关于 z 的辅助方程，当 z 为：负实根、共轭复根、正实根时，对应：,s:符号相反的实根,s:共轭虚根,s:两对共轭复根,系统的n阶赫乐维茨行列式,取各阶主子行列式作为1阶（n-1）阶赫尔维兹行列式,赫尔维茨行列式,控制系统稳定的充分必要条件是：当a0>0时， 各阶赫尔维茨行列式1、2、n均大于零。,一阶系统,二阶系统,a0>0时, a1>0(全部系数同号),a0>0时, a1>0, a2>0(全部系数同号),a0>0时,a0>0时,赫尔维茨判据,三阶系统,a0>0时, a1>0, a2>0, a3>0(全部系数同号),a0>0时,a1a2> a0 a3,四阶系统,a0>0时, a1>0, a2>0, a3>0 , a4>0 (全部系数数同号),a0>0时,一阶系统,a1>0(全部系数同号),a1>0, a2>0(全部系数同号),a1>0, a2>0, a3>0(全部系数同号),a1a2> a0 a3,a1>0, a2>0, a3>0 , a4>0(全部系数同号),归纳：a0>0时,二阶系统,三阶系统,四阶系统,a1>0, a2>0, a3>0 , a4>0,K值的稳定范围,各项系数均为正数,a0>0时,单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：,判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。,系统1的闭环特征方程为：,系统3的闭环特征方程为：,系统2的闭环特征方程为：,K的稳定域为：,K的稳定域为：,结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。,由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。,Break,特征矢量幅角变化与稳定性关系,一阶系统,D(s)可视为复平面上的向量。,特征多项式：,4.3 米哈伊洛夫稳定性判据,当变化(0)时， D(j)的端点沿虚轴滑动，其相角相应发生变化。,在频域：D(j) = j p,若特征根为负实根，系统稳定,若特征根为正实根，系统不稳定,二阶系统,特征方程：D(s) = s2 +2ns+ n2 = (sp1)(sp2) = 0,实根情形( 1),当由0时：,共轭虚根情形(0<<1),设根位于左半s平面,当由0时，,jp1的相角变化范围： -0 /2,变化量：/2+0,jp2的相角变化范围： 0 /2,变化量：/20,根位于右半s平面,共轭虚根情形(0<<1),当由0时，,jp1的相角变化量： -/20,jp2的相角变化量： -/2+0,n 阶系统,若所有特征根都在左半S平面，则当由0时,若有q个特征根在右半S平面，则当由0时,n阶系统稳定的条件：当由0时，矢量D(j)的相角变化量,稳定系统,不稳定系统,临界稳定系统,Nyquist稳定判据,系统各特征多项式间的关系,开环含有积分环节,例2,例3,(例1),例3,例1,例2,Nyquist稳定判据穿越法,Bode图中的Nyquist稳定判据,例2,例1,例2,例3,稳定判据歌,例1,4.4 Nyquist稳定性判据,系统的开环传递函数,系统的闭环传递函数,闭环特征多项式,开环特征多项式,设新变量F(s),建立了系统的闭环特征多项式、开环特征多项式和开环传递函数 G(s)H(s) 之间的关系,系统各特征多项式间的关系,s=j代入,引言:Nyquist 稳定性判据是通过图解方法判断系统是否满足稳定的充分必要条件。也就是利用系统开环幅频特性，即系统开环时的Nyquist图，或Bode图，来判断系统闭环稳定性。,Nyquist稳定判据,系统在开环状态稳定时,闭环稳定的充要条件是：当由0时，1+G(j)H (j) 轨迹不包围1+GH平面的原点。,系统在开环状态稳定时,闭环稳定的充要条件是：当由0时，开环G(j)H (j)轨迹不包围GH平面的(-1,j0)点。,在复平面上将1+G(j) H(j)的轨迹向左移动一个单位，便得到G(j)H(j) 的轨迹,GH,闭环稳定要求(同),设系统开环特征根有m个位于右半s平面,若系统开环不稳定，且有m个开环特征根位于右半S平面，则闭环系统稳定的充要条件：当由0时，开环G(j)H(j) 轨迹逆时针包围 GH平面上的点(-1，j0) m/2 次。注：若算上由0时（与前半部分对称）的轨迹，应包围该点 m 次,系统开环Nyquist见下，已知 m=2（开环不稳定）。 讨论闭环系统的稳定性。,G(j)H(j)轨迹逆时针方向包围(-1,j0)点一次 系统在闭环状态下是稳定的。,单位反馈系统的开环传递函数,其中: T1=0.1s, T2=0.05s, T3=0.01s。试求K值为多大时,闭环系统是稳定的。,T1 、 T2 、 T3 均为正，系统开环稳定,闭环系统稳定条件：,取,已知系统开环传递函数,应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。,解：开环系统有一个右极点，所以：m=1，闭环系统的稳定性取决于：当K>1时，系统闭环稳定； 当K<1时，系统闭环不稳定； 当K=1时，系统临界稳定。,Break,开环含有积分环节（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极点时，不可直接应用米哈伊洛夫稳定定理获得该极点对应的向量 j+pi 在由0变化到时的相角变化量。,用半径 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面。,开环含有积分环节,在复平面的虚轴上，当很小时，圆弧的数学方程式rej, r0时，从0变到/2。,当很小时，采用替换值rejG(j)的绝对值无穷大幅角从0变为 。,常规方法： (1)作出由 0+变化时的Nyquist曲线； (2)从G(j0+)开始，以的半径逆时针补画v90°的圆弧(辅助线)。,由 00+变化时的轨迹,具有零根的开环G(j)H(j)轨迹,(b),(a),对于最小相位系统，以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和 G(j) H(j)轨迹的起始端。,对于最小相位系统，,其辅助线的起始点始终 在无穷远的正实轴上。,(c),p158“逆”,单位反馈系统的开环传递函数为,应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。,开环稳定m=0， 开环 Nyquist曲线不包围 (-1, j0 )点,系统闭环稳定。,已知系统的开环传递函数(不稳定，m=1)如下，应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。,0+：A(0+)，(0+)270°,Nyquist曲线顺时针包围(-1, j0 )点半次， 而 m1 系统闭环不稳定。,开环稳定G(j)轨迹不包围(-1,j0) 点闭环系统稳定。,开环稳定,穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1, j0 )点左边实轴时的情况,正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1 -段实轴,正穿越相当于Nyquist曲线正向包围(-1, j0 )点一圈。,负穿越：增大时，Nyquist曲线由下而上穿过-1 -段实轴,负穿越相当于Nyquist曲线反向包围(-1, j0 )点一圈。,Nyquist稳定判据穿越法,图例,半次穿越：G(j)H (j) 轨迹起始或终止于(-1,j0)点以左的负实轴。,+1/2次穿越,-1/2次穿越,当由0变化到时，Nyquist曲线在(-1, j0 )点左边实轴上的正负穿越次数之差等于m/2时( m 为系统开环右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。,开环不稳定 闭环稳定,开环稳定 闭环稳定,系统在闭环状态下是稳定的。,