厦大大学物理振动和波动
1§§4-1 简谐振动的描述简谐振动的描述 §§4-2 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征2§§4-2 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征 §§4-3 简谐振动的合成简谐振动的合成*§§4-4 阻尼振动 受迫振动 共振阻尼振动 受迫振动 共振31简谐振动的定义简谐振动的定义1.1 机械振动机械振动物体在一定位置附近作来回往复的运动。物体在一定位置附近作来回往复的运动。45Ø 广义振动：广义振动：一个物理量随时间一个物理量随时间t 作周期性变化作周期性变化1.2 简谐振动简谐振动)cos( +=tAx则物体的运动为简谐振动则物体的运动为简谐振动。物体运动时，离开平衡位置的位移（角位移）随物体运动时，离开平衡位置的位移（角位移）随时间按余弦（或正弦）规律随时间变化：时间按余弦（或正弦）规律随时间变化：6则物体的运动为简谐振动则物体的运动为简谐振动。2描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量2.1 周期和频率周期和频率 21,2=TT)cos( +=tAx72T2.3 位相与初相位相与初相t 时刻的位相时刻的位相: t+初相初相: 2.2 振幅振幅A3简谐振动的表示简谐振动的表示1）振动表达式：）振动表达式：xAt=+cos()2）振动曲线：）振动曲线：8xtoA- ATMy振幅：振幅：旋转矢量的模旋转矢量的模A圆频率：圆频率：旋转矢量的角速度旋转矢量的角速度位相：位相：旋转矢量与旋转矢量与Ox轴的夹角轴的夹角t+3）旋转矢量表示：）旋转矢量表示：9M0M t P xOAx104简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度)cos( +=tAx)2cos( )sin(+=+=tAtAdtdxv)cos()cos(22+=+=tAtAdva11Ø 速度和加速度作与位移同频率的简谐振动速度和加速度作与位移同频率的简谐振动 Ø Avm=，2Aam= Ø 速度位相比位移位相超前速度位相比位移位相超前/2；加速度位相比；加速度位相比 位移位相超前位移位相超前。 )cos()cos(+tAtAdtaOAv xa A2AO12OTAtO例例 4- 1 已知某质点的振动曲线如图所示，求：已知某质点的振动曲线如图所示，求： （1）质点的振动表达式；）质点的振动表达式； （2）0=t时质点的速度和加速度。时质点的速度和加速度。 x(cm)134- 42 t (s)2 O解： （1）4=A，2/24=TT 4cos()2xt=+ 35 0sin2/1cos0200= =tt vx51454cos()23xt=+ （2）)35 2sin(2+=tdtdxv )35 2cos(2+=tdtdva 0=t，)/(3smv=，)/(2/22sma= 作业：作业：154- 1、4- 4161简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征)cos( +=tAx2 22 2cos()d xaAtxdt= += 172 2 20d xxdt+=2()Fkx km= =2ax= 1）kxF= 2）xa2= 结论：结论：简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征182）xa= 3）02 22 =+xdtxd2.几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动2.1 弹簧振子弹簧振子Fkx= 2()kkFxOkmx192()kkaxxmm= = = 02 22 =+xdtxd )cos( +=tAx Ø 周期和频率：周期和频率：由振动系统的固有性质决定由振动系统的固有性质决定kmT22=mk 21 2=Ø 振幅和初相振幅和初相：由初始条件决定由初始条件决定20Ø 振幅和初相振幅和初相：由初始条件决定由初始条件决定 =+=0022 02 0xvtgvxAsintmgFmgmgsl= = 22 2 2()0t tFggassmll d ss= = =+=2.2 单摆单摆lT2120sdt+=cos()sAt=+ Ø 振幅很小时，单摆的振动为简谐振动。振幅很小时，单摆的振动为简谐振动。 Ø 单摆的振动周期：单摆的振动周期： glT22= mgFt OsRmTf例例4- 2 如图所示，已知弹簧的劲如图所示，已知弹簧的劲度系数为度系数为k，物体的质量为，物体的质量为m，滑轮的半径为滑轮的半径为R，转动惯量，转动惯量为为J。开始时托住物体。开始时托住物体m，使，使得系统保持静止，绳子得系统保持静止，绳子刚好刚好拉直而拉直而弹簧弹簧无形无形变变，t=0时时放放22k0xmgTxOxa拉直而拉直而弹簧弹簧无形无形变变，t=0时时放放开开m。设设绳子与滑轮间绳子与滑轮间无无相相对对滑动。滑动。(1) 证明放证明放开开后后m作简谐振动；作简谐振动；(2) 求振动周期；求振动周期；(3) 写出写出m的振动表达式。的振动表达式。（1）kmgxkxmg/00= mgTmaTRfRJaR= = 解：解：230()fk xx=+2/kaxmJ R= +m作简谐振动作简谐振动 （2）222/2/kmJ RTmJ Rk+=+（3）)cos( +=tAx = = kmgAkmgxxt/0/0024=vt00)cos( +=tkmgx（2/k mJ R =+） 222222222cos()sin() 111sin ()sin ()222 11cos ()kxAtvAtEmvmAtkAtEkxkAt=+= +=+=+=+3.简谐振动的能量简谐振动的能量25222cos ()22 11 22pkpEkxkAtEEEmAkA=+=+=FxOkmx1结论：结论：谐振子的动能和势能都随时间而变化，振谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过程中两者相互转换，但系统的总能：动过程中两者相互转换，但系统的总能：262 21kAE=保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。Oxt127OtpEkE21 2EkA=28作业：作业：294- 8、4- 10301.同频率同方向的简谐振动的合成同频率同方向的简谐振动的合成代数方法：代数方法：111222cos(),cos()xAtxAt=+=+12112211221122cos()cos()(coscos)cos(sinsin)sinxxxAtAtAAtAAt=+=+=+3122 121221112211222cos()sinsintancoscosAAAA AAA AA=+=+11221122(coscos)cos(sinsin)sincos()At=+旋转矢量合成方法：旋转矢量合成方法：A2A +=+=2121 xxxAAAvvv3212Ox2x1xxA122 121221112211222cos()sinsintancoscosAAAA AAA AA=+=+2）结论：结论：1）同频率同方向的简谐振动的合振动为与分振动）同频率同方向的简谐振动的合振动为与分振动 同频率的简谐振动。同频率的简谐振动。332121 ,) 12(,2AAAkAAAk=+=+=)cos(212212 22 1 +=AAAAA34链接)2cos(2cos2)cos(),cos(1212 212211+=+=+=+=ttAxxxtAxtAx2.同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成351）合合振幅随时间变化振幅随时间变化，形成形成拍拍，拍拍频为频为=2-1 结论：结论：361）合合振幅随时间变化振幅随时间变化，形成形成拍拍，拍拍频为频为 21 2）合振动的）合振动的“频率频率”为为2/ )(21+=。 373相互垂直的同频率的简谐振动的合成相互垂直的同频率的简谐振动的合成)cos()cos(222211 +=+=tAytAx38)(sin)cos(2122 12 212 222 12 =+AAxy Ay Ax椭圆轨道椭圆轨道3940链接012=424341=124523474.相互垂直的不同频率的简谐振动的合成相互垂直的不同频率的简谐振动的合成 +=+=)cos()cos(111 tAytAx李萨如图，且 42+=)cos(222 tAyyxyx nn TT= 43链接4421:0例例4- 3 已知已知两两个简谐振动的表达式个简谐振动的表达式分别分别为为122cos(10)2 2cos(10)xtxt=+=（1）求求合合振动的表达式振动的表达式；45（1）求求合合振动的表达式振动的表达式；（2）若若x3=3cos(10t+)，则则为为何值何值时，时，三三振动振动叠叠加加后后，合合振动的振幅振动的振幅最大？则最大？则为为何值何值时，时，三三振动振动叠叠加加后后，合合振动的振幅振动的振幅最最小小？解：解： （1）122 2mAA= 3 4 = 3A1AAO4632 2cos(10)4xt=+ （2）324k=+时，合振动振幅时，合振动振幅最大最大，max(32 2)mA=+724k=+时，合振动振幅时，合振动振幅最小最小，min(32 2)mA=xA2O作业：作业：474- 15、4- 17481阻尼振动阻尼振动1.1 阻尼振动：阻尼振动：物体在振物体在振荡荡过程中过程中因受阻力因受阻力的作的作用用 而而使使能量不能量不断损失断损失，振幅不，振幅不断减小断减小的振动。的振动。1.2 阻尼振动的定量分析阻尼振动的定量分析 dxFv= = 49rFvdt= = ),2(0202 02222mk mxdtdx dtxddtdxkxdtxdm=+=0442 02=，即即2 02> ()()22tptpt过阻尼：过阻尼：52()()22 120tptptxeC eC ep=+= 特点：特点：物体不物体不再再作来回振动，而是作来回振动，而是逐渐靠逐渐靠近近并停止并停止在平衡位置。在平衡位置。530442 02=，即即2 02= ttCC)( 临界阻尼：临界阻尼：54tetCCx+=)(21特点：特点：质点质点不不再再作来回振动，作来回振动，到达到达平衡位置平衡位置刚好刚好停下停下来。来。55xa： 0 c： =0 cb56tO阻尼阻尼振动振动a振动系统在振动系统在周期性驱周期性驱动动力力的持的持续续作作用下产生用下产生的振动。的振动。2受迫振动受迫振动2.1 受迫振动受迫振动572.2 受迫振动的定量分析受迫振动的定量分析阻力阻力：rdxFvdt= = 驱驱动动力力：0cosFFt= 2022cosd xdxmkxFtdtdt d xdx= +582 2 0020 002cos(,)2d xdxxftdtdt Fkfmmm+=00cos(')cos()txA etAt=+ 其其中中22 0'=。 xOt讨论：讨论： 1）稳稳定时，系统按余弦定时，系统按余弦函数函数作作周期性周期性振动：振动：cos()xAt+2）系统振动的频率）系统振
