高中数学：1.2 集合的基本关系 学案 （北师大必修1）

1.2 集合的基本关系集合的基本关系 【学习目标】 1了解集合之间包含关系的意义； 2理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示； 3子集、真子集的性质 【课前导学】 一、复习回顾 表示集合常有两种方法：_法和_法_法就是把集合的所有元素一一列举出 来，并用_号“_”起来；_法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法， 具体的方法是：在_号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围， 再画一条_，在此后面写出这个集合中元素所具有的_性质. 二、巩固练习 1、用列举法表示下列集合：32 |220x xxx-1，1，2数字和为 5 的两位数 14，23，32，41，502、用描述法表示集合： 1 1 1 11, 2 3 4 5*1 |,5x xnNnn且3、用列举法表示：“与 2 相差 3 的所有整数所组成的集合”|2| 3xZx=-1，5三、问题情境 【问题】观察下列两组集合，说出集合 A 与集合 B 的关系（共性） （1）A=-1，1，B=-1，0，1，2； （2）A=N，B=R；（3）A=x x为北京人，B= x x为中国人； (4)A，B0【设问】集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素吗?【课堂活动】 一、建构数学： 通过观察上述集合间具有如下特殊性： (1)集合 A 的元素-1，1 同时是集合 B 的元素； (2)集合 A 中所有元素，都是集合 B 的元素； (3)集合 A 中所有元素都是集合 B 的元素； (4)A 中没有元素，而 B 中含有一个元素 0，自然 A 中“元素”也是 B 中元素. 由上述特殊性可得其一般性，即集合 A 都是集合 B 的一部分.从而有下述结论. 1.子集: 【定义】一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元 素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含 集合 A.记作 AB（或 BA） ，这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集. 请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.2真子集：对于两个集合 A 与 B，如果BA ，并且BA ，我们就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作：AB 或 BA, 读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A 这应理解为：若 AB，且存在 bB，但 bA，称 A 是 B 的真子集. 【注意】 （1）子集与真子集符号的方向 （2）当集合 A 不包含于集合 B，或集合 B 不包含集合 A 时，则记作 A B（或 B A）.如： A2，4，B3，5，7，则 A B. （3）空集是任何集合的子集即 A （4）空集是任何非空集合的真子集即 A 若 A，则 A（5）任何一个集合是它本身的子集即AA （6）易混符号： “”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,1,1RNNNR，11，2，30与 ：0是含有一个元素 0 的集合， 是不含任何元素的集合 如 0不能写成 =0，0（7）子集关系具有传递性.即,AB BC,则AC二、应用数学： 例 1（1） 写出 N，Z，Q，R 的包含关系，并用文氏图表示（2）判断下列写法是否正确：A A AA AA解（1）：N Z Q R （2）正确；错误，因为 A 可能是空集；正确；错误； 【思考】1：AB与BA能否同时成立？ 【结论】如果 AB，同时 BA，那么 AB. 如：a，b，c，d与b，c，d，a相等；2，3，4与3，4，2相等； 问：Axx2m1，mZ，Bxx2n1，nZ.（A=B） 说明：稍微复杂的集合，特别是用描述法给出的，要从代表元素及其所满足的特性上认真分 辨. 【思考】2：若 A B，B C，则 A C？ 真子集关系也具有传递性若 A B，B C，则 A C. 例 2 写出a、b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集. 【思路分析】寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义：a，b的所有子集是、a、b、a，b，其中真子集有、a、b.【变式】写出集合1，2，3的所有子集 解：、1、2、3、1，2、1，3、2，3、1，2，3【猜想】(1)集合a,b,c,d的所有子集的个数是多少？(1624)（2）集合naaa,21L的所有子集的个数是多少？(n2)【推广】如果一个集合的元素有 n 个，那么这个集合的子集有 2n 个，真子集有 2n1 个，有 2n-2 个非空真子集例 3 满足 aM, , ,Ma b c d、个？【思路分析】集合 M 中必含有元素 a, 故集合 M 的个数即是, ,b c d的真子集的个数解：7 个例 4 已知集合52|xxA，121|mxmxB，且AB ，求实数 m的取值范围【思路分析】A 的子集要分B和B两种情况讨论解：B， 即121mm，依题意，有AB ，在数轴上作出包含关系图形，如图：有51221121mmmm解得332 m ;B,即121mm，解得32m ；综上所述，实数m的取值范围是3m 【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性 三、理解数学：1、用 “、”连接下列集合对：A=济南人，B=山东人； A=N，B=R； A=1，2，3，4，B=0，1，2，3，4，5； A=本校田径队队员，B=本校长跑队队员； A=11 月份的公休日，B=11 月份的星期六或星期天2、若 A=a，b，c,则有几个子集，几个真子集？写出 A 所有的子集3、设 A=3m,mZ,B=6k，kZ,则 A、B 之间是什么关系？【课后提升】1 满足A,dcba的集合A是什么?解析:由A可知,集合A必为非空集合;又由A,dcba可知,此题即为求集合,dcba的所有非空子集。满足条件的集合A有,dcba,dbcbdacaba,dcadbacbadc,dcb, ,dcba共十五个非空子集此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式12 n进行检验，15124，正确答案:152 已知0,1, |, |,ABx xA Cx xA xN，试确定 A，B，C 之间的关系解析:由题意可得:A=0，1 , B=，0，1，0，1 , C=1答案:A，B，C 之间的关系是BCBA,3 判断正误：(1) 0(2) =0 (3) 0(4) 0(5) (6) 解析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;当把视为元素时,也成立.0表示元素,0表示以0为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意. 答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6). 4设集合 M=(x,y)|x+y0和 P=(x,y)|x<0，y<0，那么 M 与 P 的关系为 _M = P5已知集合04|2xxxA，0|2aaxxxB，若AB ，求实数a满足的条件解析:由于集合A可用列举法表示为4, 0 ，所以B可能等于A，即4, 0 B；B也可能是A的真子集，即B=，或B=0，或B=4，从而求出实数a满足的条件。4, 004|2xxxA，且AB ，可得当AB 时，4, 0 B，由此可知，4, 0 是方程02aaxx的两根，由韦达定理 )4(040 aa无解；当BA时B,即B=0,B=4, 042aa，解得4 , 0a，此时2,0BB，0B符合题意，即0a符合题意；B，042aa，解得40 a，综合知：a满足的条件是40 a 答案: 40 a6已知集合,|,AxxBbaA用列举法写出B； 已知集合,|,AxxBbaA用列举法写出B分析:集合本身也可以做另外集合的元素.解析:由已知条件注意到B中的元素x的属性是Ax ，即x是A的子集, x可以是, ,baba, B=, ,baba由已知条件注意到B中的元素x的属性是Ax,即x是A的元素, x可以是ba,B=,baA7 已知 aR，bR，A=2，4，x2-5x+9，B=3，x2+ax+a，C=x2+(a+1)x-3，1 ，求：（1）A=2，3，4的 x 值；（2）使 2B，B A，求 a,x 的值；（3）使 B= C 的 a，x 的值 解：（1）由题意知：x2-5x+9=3，解得 x=2 或 x=3（2）2B，B A， 222359xaxaxx 即 x=2，a=2 3 或73,4xa （3） B = C， 22(1)331xaxxaxa即 x=-1，a=-6 或 x=3，a=-2全全 品中考网品中考网