定积分教程

,第五章 定积分,1. 求曲边梯形的面积,曲边梯形是指由连续曲线,和直线,所组成的平面图形。,显然曲边梯形的面积无法用初等几何的方法解决，但这一问题可以用极限的方法来求解。,一、定积分概念的引入,定积分的概念,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,根据上述分析求曲边梯形面积步骤如下：,（1）分割：在区间a,b中插入n-1个分点,把a,b分成n个小区间,其长度为,过各个分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积为?,（2）近似：用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,（3） 求和：曲边梯形的面积A的近似值,（4） 取极限：当分割无限加细，即小区间的最大长度,趋于零,时，有：,（1）分割：（前面）,一、定积分的定义,积分上限,积分下限,积分和,积分区间,注意：,二.定积分的几何意义,当 f (x) > 0 时，,定积分在几何上表示,1) 曲边 y = f (x)在区间 a, b 上方的曲边梯形面积，,2)如果 f (x) < 0 ，,曲边梯形在 x 轴下方，,此时该定积分为负值，,它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积是负值，,当 f (x) 在 a, b 上有正有负时，,x 轴上方的曲边梯形面积减去 x 轴下方的曲边梯形面积,定积分,注： 轴上方取正， 下方取负,例1.利用定积分的几何意义说明下列等式：,性质2（和差的积分等于积分的和差）,性质1（常数因子可以提到积分号）,性质3（区间可加性）,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,性质4,三、 定积分的性质,例2,解,比较定积分,的大小。,与,因为在区间1，2上，有,由定积分性质得,牛顿莱布尼兹公式就是将定积分的计算问题转化为求被积函数的一个原函数的问题，即把定积分问题转化为求不定积分的问题.,四、定积分的计算牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式,导数、不定积分、定积分三者关系：,例3 求定积分：,.,定积分求法一 直接运用积分公式,定积分求法二 凑微分法,练习:求下列定 积分,解:,定理,定积分求法三换元积分法,例1,计算,解,练习:求,注意:积分变量换元后积分上下限也必须跟着换.,解,在对称区间,上是奇函数，故,（1）因为,例5 计算,练习:求下列定积分,奇函数,偶函数,不定积分的分部积分法公式,这就是定积分的分部积分法公式,由此说明定积分的分部积分法与不定积分差不多,定积分求法四分部积分法,解：,不定积分的两种分部积分法的题型，定积分一样适用,解,解,练习：求下列定积分,1. 直角坐标系下的面积计算,X型区域,上面减 下面,(1),(2),定积分的应用求平面图形的面积,Y型区域,右边减左边,例1.求由 所围成的平面图形的面积,0,1,2,步骤：一画图二列式三求定积分,（1）求由曲线,及直线,所围成图形,的面积。,解：,练习题,先解方程组,所围图形如图所示,解:解方程组,得交点（0，0）及（1，1）.,0,x,Y,(1,1),解（1）画出图形简图（如图)并求出曲线交点以确定积分区间：,看成X型区域,1,1,也可看成Y型区域解,1,A,B,0,x,y,看成Y型区域,也可看成X型区域解,但比较繁,