江苏省江阴市成化高级中学2015届高三数学总复习学案：6 函数的奇偶性与周期性word版含答案

自主梳理(1)f(x)为奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)_； f(x)为偶函数f(x)f(x)f(|x|)f(x)f(x)_. (2)f(x)是偶函数f(x)的图象关于_轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象关于_对 称 (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有_ 的单调性 3函数的周期性 (1)定义：如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(xT) _，则称 f(x)为_函数，其中 T 称作 f(x)的周期若 T 存在一个最小的正数，则 称它为 f(x)的_(2)性质： f(xT)f(x)常常写作 f(x )f(x )T2T2 如果 T 是函数 yf(x)的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是 yf(x)的周期，即 f(xkT) f(x) 若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(xa)f(x)或 f(xa)或 f(xa)(a 是常数且 a0)，则 f(x)是以_为一个周期的周期函数1fx1fx自我检测 1已知函数 f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则 m 的值为 _ 2如果定义域为3a,5的函数 f(x)为奇函数，那么实数 a 的值为_ 3(2009·江西改编)已知函数 f(x)是(，)上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2)f(x)，且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，则 f(2 012)f(2 011)_.4设函数 f(x)为奇函数，则 a_.x1xax 5若函数 yf(x)是 R 上的偶函数，且在(，0上是增函数，且 f(a)f(2)，则实数 a 的取值范围为_探究点一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1) ；1x1x(2)f(x)x( )；12x112 (3)f(x)log2(x)；x21(4)f(x)Error!Error!变式迁移 1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)x2x3； (2)f(x)；x211x2(3)f(x).4x2|x3|3探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用 例 2 函数 yf(x)(x0)是奇函数，且当 x(0，)时是增函数，若 f(1)0，求不等式 fx(x )0)，在区间8,8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4_. 变式迁移 3 定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数，且 f(x)f(2x)若 f(x)在区间1,2上 是减函数，则下列说法中正确的是_(填序号) 在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是增函数； 在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数； 在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是增函数； 在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是减函数转化与化归思想 例 (14 分)函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1·x2) f(x1)f(x2) (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果 f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范 围 【答题模板】 解 (1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1·x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.2 分(2)令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，f(1) f(1)0.4 分12令 x11，x2x 有 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数6 分(3)依题设有 f(4×4)f(4)f(4)2，f(16×4)f(16)f(4)3，8 分f(3x1)f(2x6)3，即 f(3x1)(2x6)f(64)10 分f(x)为偶函数，f(|(3x1)(2x6|)f(64)11 分又f(x)在(0，)上是增函数，f(x)的定义域为 D.00，从而得出 01，f(2)，则 m 的取值范围为_2m3m1 8(2011·苏北联考)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，g(x)是 R 上的奇函数，且 g(x) f(x1)，若 f(2)2，则 f(2 010)的值为_ 二、解答题(共 42 分) 9(14 分)已知 f(x)是定义在6,6上的奇函数，且 f(x)在0,3上是 x 的一次式，在3,6 上是 x 的二次式，且当 3x6 时，f(x)f(5)3，f(6)2，求 f(x)的表达式10(14 分)设函数 f(x)x22|x|1(3x3)， (1)证明 f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数 f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域11(14 分)(2011·南通调研)已知函数 f(x)x2 (x0，常数 aR)ax (1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若函数 f(x)在2，)上为增函数，求实数 a 的取值范围答案答案 自主梳理 1f(x)f(x) f(x)f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最 小正周期(2)2a 自我检测 12 解析 因为 f(x)为偶函数，所以奇次项系数为 0，即 m20，所以 m2.28 31 解析 f(2 012)f(2 011)f(2 012)f(2 011)f(0)f(1)log21log2(11)1.41 解析 f(1)0，f(1)2(a1)0，a1.代入检验 f(x)是奇函数，故 a1.x21x5a2 或 a2 解析 由 f(x)是 R 上的偶函数知，f(x)在0，)上是减函数因为 f(a)f(2)等价于 f(|a|)f(2)所以|a|2，解得 a2 或 a2.课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断(先看定义域是否关于原点对称)(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则 f(x)为奇函数；f(x)的图象关于 y 轴对称，则f(x)为偶函数(3)基本函数法：把 f(x)变形为 g(x)与 h(x)的和、差、积、商的形式，通过 g(x)与 h(x)的奇偶性判定出 f(x)的奇偶性解 (1)定义域要求0 且 x1，1x1x 10，则 f(x)(x)2x(x2x)f(x)； 当 x>0 时，x0)在8,8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，不妨设 x1f(2) 解析 由 yf(x1)是偶函数，得到 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，f(1)f(3)又 f(x)在1，)上为单调增函数，f(3)>f(2)，即 f(1)>f(2)61 解析 f(x)是奇函数，且 xR，f(0)0，即 a0.又 f(1)f(1)，b1(11)0，即 b1，因此 ab1.7(1， )23解析 f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(x)为奇函数，且 f(1)>1，f(1)f(1)4，即 a4，x1x2(x1x2)>16，a 的取值范围为(，16(14 分)