江苏省江阴市成化高级中学2015届高三数学总复习学案：2 命题及其关系、充分条件与必要条件word版含答案

自主梳理 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫 做真命题，判断为假的语句叫做假命题 2四种命题及其关系 (1)四种命题 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否 定，于是四种命题的形式就是 原命题：若 p 则 q(pq)； 逆命题：若 q 则 p(qp)； 否命题：若綈 p 则綈 q(綈 p綈 q)； 逆否命题：若綈 q 则綈 p(綈 q綈 p)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系 3充分条件与必要条件 若 pq，则 p 叫做 q 的充分条件；若 qp，则 p 叫做 q 的必要条件；如果 pq，则 p 叫做 q 的充要条件 自我检测1(2011·南京模拟)设集合 A，Bx|0bd，q：a>b 且 c>d； p：a>1，b>1，q：f(x)axb(a>0，且 a1)的图象不过第二象限； p：x1.q：x2x； p：a>1，q：f(x)logax(a>0，且 a1)在(0，)上为增函数 答案 解析 中，由于 a>b，c>dac>bd，而 ac>bd 却不一定推出 a>b，c>d，故 中 p 是 q 的必要不充分条件；中，当 a>1，b>1 时，函数 f(x)axb 不过第二象限，当 f(x)axb 不过第二象限时，有 a>1，b1，故中 p 是 q 的充分不必要条件； 中，因为 x1 时有 x2x，但 x2x 时不一定有 x1，故中 p 是 q 的充分不必要 条件；中 p 是 q 的充要条件 3设 a、b 都是非零向量，那么命题“a 与 b 共线”是命题“|ab|a|b|”的 _条件 答案 必要不充分 解析 |ab|a|b|a、b 同向a 与 b 共线；反之，当 a 与 b 共线时，不一定有|ab|a|b|，故 a 与 b 共线是|ab|a|b|的必要不充分条件4与命题“若 aM，则 b M”等价的命题是_ 答案 若 bM，则 a M 解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可5给出下列命题： 原命题为真，它的否命题为假； 原命题为真，它的逆命题不一定为真； 一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； 一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真； “若 m>1，则 mx22(m1)xm3>0 的解集为 R”的逆命题 其中真命题是_(把你认为正确命题的序号都填在横线上) 答案 解析 原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故错误，正确又因为不等式 mx22(m1)xm3>0 的解集为 R，由Error!Error!m>1. 故正确探究点一探究点一 四种命题及其相互关系四种命题及其相互关系 例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假 (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧 解题导引 给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧真命题逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线真命题变式迁移 1 有下列四个命题： “若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若 q1，则 x22xq0 有实根”的逆否命题； “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题的序号为_ 答案 解析 的逆命题是“若 x，y 互为相反数，则 xy0” ，真；的否命题是“不全等的三角形的面积不相等” ，假；若 q1，则 44q0，所以 x22xq0 有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形” ，假探究点二探究点二 充要条件的判断充要条件的判断 例 2 给出下列命题，试分别指出 p 是 q 的什么条件 (1)p：x20；q：(x2)(x3)0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等 (3)p：m6；q：yx2mxm3 有两个不同的零点；p：1；q：yf(x)是偶函数；fxfxp：cos cos ；q：tan tan ； p：ABA；q：UBUA. 答案 解析 q：yx2mxm3 有两个不同的零点q：m24(m3)>0q：m6p；当 f(x)0 时，由 qp；若 ，k (kZ)时，显然 cos cos 2，但 tan tan ；p：ABAp：ABq：UAUB.故符合题意探究点三探究点三 充要条件的证明充要条件的证明 例 3 设 a，b，c 为ABC 的三边，求证：方程 x22axb20 与 x22cxb20 有 公共根的充要条件是A90°. 解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性证明 (1)必要性：设方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根 x0，则 x 2ax0b20，x 2cx0b20，2 02 0两式相减可得 x0，将此式代入 x 2ax0b20，b2ca2 0可得 b2c2a2，故A90°，(2)充分性：A90°，b2c2a2，b2a2c2.将代入方程 x22axb20，可得 x22axa2c20，即(xac)(xac)0.将代入方程 x22cxb20，可得 x22cxc2a20，即(xca)(xca)0.故两方程有公共根 x(ac)所以方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是A90°.变式迁移 3 已知 ab0，求证：ab1 的充要条件是 a3b3aba2b20. 证明 (1)必要性：ab1，ab10.a3b3aba2b2(ab)(a2abb2)(a2abb2)(ab1)(a2abb2)0.(2)充分性：a3b3aba2b20，即(ab1)(a2abb2)0.又 ab0，a0 且 b0.a2abb2(a )2 b2>0.b234ab10，即 ab1.综上可知，当 ab0 时，ab1 的充要条件是 a3b3aba2b20.转化与化归思想转化与化归思想例 (14 分)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x40 和 x24mx4m24m50，且 mZ.求两方程的根都是整数的充要条件【答题模板】 解 mx24x40 是一元二次方程，m0. 2 分另一方程为 x24mx4m24m50，两方程都要有实根，Error!解得 m ，1 6 分54两根为整数，故和与积也为整数，Error!， 10 分m 为 4 的约数，m1 或 1，当 m1 时，第一个方程 x24x40 的根为非整数，而当 m1 时，两方程均为整数根，两方程的根均为整数的充要条件是 m1. 14 分【突破思维障碍】 本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想 0.求出 m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数【易错点剖析】 易忽略一元二次方程这个条件隐含着 m0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数1研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果，那么”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性2在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是 p 对 q 而言，还是 q 对 p 而言还要分清否命题与命题的否定的区别3.本节体现了转化与划归的数学思想。(满分：90 分) 一、填空题(每小题 6 分，共 48 分) 1(2010·天津模拟)给出以下四个命题： 若 ab0，则 a0 或 b0；若 a>b，则 am2>bm2；在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB；在一元二次方程 ax2bxc0 中，若 b24acb”是“|a|>|b|”的充分条件；“ab”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件3(2009·北京改编)“ 2k(kZ)”是“cos 2 ”的_条件612 答案 充分不必要解析 由 2k(kZ)可得到 cos 2 .612由 cos 2 得 22k± (kZ)123k± (kZ)6所以 cos 2 不一定得到 2k(kZ)1264(2010·徐州模拟)关于命题“若抛物线 yax2bxc 的开口向下，则 x|ax2bxc0，即抛物线的开口可以向上因此否命题也是假命题5(2011·扬州模拟)集合 Ax|x|4，xR，Bx|x5”的 _条件 答案 必要不充分 解析 Ax|4x4，若 AB，则 a>4，a>4a>5，但 a>5a>4.6 “x1>0 且 x2>0”是“x1x2>0 且 x1x2>0”的_条件 答案 充要 7(2011·镇江模拟)已知 p：(x1)(y2)0，q：(x1)2(y2)20，则 p 是 q 的 _条件 答案 必要不充分 解析 由(x1)(y2)0 得 x1 或 y2，由(x1)2(y2)2 0 得 x1 且 y2，所以由 q 能推出 p，由 p 推不出 q, 所以填必要不充分条件8已知 p(x)：x22xm>0，如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的