3.5 三角函数的图象与性质
第第 5 5 讲讲 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质知知 识识 梳理梳理 正弦函数正弦函数、余弦函数、余弦函数的性质的性质：sin ()yx xRcos ()yx xR （1 1）定义域）定义域：都是 RE E（2 2）值域）值域：都是-1，1对于，当时，取最大值 1；当时，sinyx22xkkZy322xkkZ取最小值1；y对于，当时，取最大值 1，当时，取最cosyx2xkkZy2xkkZy小值1。（3 3）周期性）周期性：、的最小正周期都是 2sinyxcosyx和的最小正周期都是( )sin()f xAx( )cos()f xAx2 |T （4 4）奇偶性与对称性）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线sin ()yx xR,0kkZ；2xkkZ余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线cos ()yx xR,02kkZxkkZ（5 5）单调性）单调性：在区间上单调递增，在sinyx2,222kkkZ单调递减；32,222kkkZ在上单调递增，在区间cosyx2,22kkkZ上单调递减， 。 2,2kkkZ（6 6）正切函数）正切函数的图象和性质的图象和性质：tanyx（1）定义域：。 |,2x xkkZ（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：周期是.（4）奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是，,02kkZ（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。,22kkkZ重重 难难 点点 突突 破破 1.1.重点：重点：熟练掌握利用三角恒等变换化简三角函数解析式式，熟悉正弦函数和余弦函数的图 象与性质。 2.2.难点：难点：化简三角函数式的过程. 3.重难点：重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，利用三角函数图象与性质处理与不 等关系相关的问题 (1)利用单调性处理不等关系问题 1. (10 四川)设，若，则的取值范围是02sin3cos（A）（B）（C）（D）(,)3 2 (, )34(,)333(,)32点拨：处理三角函数的问题,除于记住定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之 外，还要记对称轴、对称中心、正负区间，即，即，即；sin3cossin3cos02sin()03sin()03又由，得；综上，即选 C025 333034 33（2）研究三角函数的性质问题 2. （10 安徽卷）已知函数( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程( )f x（）求函数在区间上的值域( )f x,12 2点拨:处理三角函数的图象与性质的问题关键是将解析式化为的形式;求三角函数的值域先考虑角的范围,再借助于sin()(0,0)yAxkA图象.解：（解：（1 1）( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx13cos2sin2(sincos )(sincos )22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x, ,由2T2周周2(),()6223kxkkZxkZ周函数图象的对称轴方程为 ()3xkkZ（2 2）5,2,12 2636xx 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，( )sin(2)6f xx,12 3,3 2 所以 当时，取最大值 13x( )f x又 ，当时，取最小值31()()12222ff 12x ( )f x3 2所以 函数 在区间上的值域为( )f x,12 23,12热热 点点 考考 点点 题题 型型 探探 析析考点 1 作三角函数的图象 题型 1:作正弦函数的图象例 1 （2010·天津改编）画出函数在一个周期内的图像( )2sin 24f xx【解题思路】三角函数作图的三个主要步骤（列表、描点、连线） 五个特殊点的选取解析 （1）列表如下：24x023 22x83 85 87 89 8( )f x02020（2）描点、连线（如图 332）【名师指引】五点法作图的技巧：函数的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为，sin()(0,0)yAxA4T于是五点横坐标依次为，这样，不仅可以快速求出五12132,44TTxxxxx 点坐标，也可在求得的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像1x题型 2.借助于三角函数的图象处理有关问题图 3-3-2问题 2. （2010·天津）设函数，则（ ）( )sin()3f xxxR( )f xA、在区间上是增函数B、在区间上是减函数27 36 ，2 ，C、在区间上是增函数D、在区间上是减函数8 4 ，5 36 ，【解题思路】作出图象,一目了然解析函数的图象如下图( )sin()3f xxxROyx选 A 【名师指引】数形结合在处理三角函数的单调性的有关问题时起到关键作用.【新题导练】1.画出函数在区间上的图像3sin(2)4yx, 0解析 （1）列表如下： x083 85 87 8y2 210102 2（2）描点、连线（如图 333）4 35 3 6 32 35 67 62.( 广东省北江中学广东省北江中学 20112011 届高三上学期届高三上学期 1212 月月考月月考) )已知函数对任意( )2sin()f xx都有则等于（ ）x()(),66fxfx()6fA. 或 B. 或 C. D. 或2022020解析: 由，函数图象关于，是最大值或最小值选 B()()66fxfx6x()6f考点 2 值域与最值问题题型 1.化为的形式sin()(0,0)yAxkA例 1. 2011 年广东省广州市高三年级调研测试)已知R R . .( )sin3cosf xxxx()（1）求函数的最小正周期;)(xf（2）求函数的最大值，并指出此时的值)(xfx【解题思路】利用对解析式进行化简,再进一步处理. 22sincossin()axbxabx解：（解：（1 1） xxxfcos3sin xxcos23sin212 3sincos3cossin2xx 3sin2x. 2T(2)(2) 当时, 取得最大值, 其值为 2 . 13sin x)(xf此时，即Z Z . 232xk26xkk()【名师指引】研究三角函数的图象与性质一般先将解析式化为的形式,再研究函数的性质. 利用整体代换的思想求出sin()(0,0)yAxk A函数的最大值和最小值是解题的关键题型 2.通过换元用二次函数的知识研究值域或最值.例 2求函数的最大值和最小值2cossin (|)4yxxx【解题思路】将余弦化为正弦,再换元处理.解析设，则sin xt22,22t 所以 22151 sinsin()24yxxt 22,22t 故当即时，当即时，1 2t 6xmax5 4y2 2t 4x min12 2y【名师指引】若函数出现既有一次项又有二项，一般都要利用二次函数的思想【新题导练】3.设求的最大值及最小正周期.2( )6cos3sin2f xxx( )f x解：1 cos2( )63sin22xf xx3cos23sin23xx312 3cos2sin2322xx2 3cos 236x故的最大值为；最小正周期( )f x2 332 2T 4. 已知向量,，且33(cos,sin)22xxa (cos, sin)22xxb 23,2x（1）求的取值范围；|ab（2）若，试求的取小值，并求此时的值。( )|f xa bab ( )f xx解： xxbaxbabacos22cos22,2cos, 1（1） 0cos123,2 xx2cos20x即 6 分2 , 0ba（2）( )|f xa bab 23)21(cos21cos2cos2cos22cos)(22xxxxxxf时当21cosx时或即34 32xx的最小值为 ( )|f xa bab 3 2考点 3 周期性与奇偶性问题题型 .研究三角函数的奇偶性和求周期 例 1(潮南区 1011 学年度第一学期期末高三级质检第(1)(3)问)已知函数（1）求 f(x)的定义域；（2）判断 f(x)的奇偶性。)cos(sinlog)(21xxxf【解题思路】用奇偶性的定义和性质进行判断解析：（1）要使 f(x)有意义，必须，即sincos0xx52244kxk得 f(x)的定义域为5(2,2),44kkkZ（2）因 f(x)的定义域为，关于原点不对称，所以 f(x)为非5(2,2),44kkkZ奇非偶函数. 【名师指引】讨论函数的奇偶性，其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称若函数f（x）为奇函数的图像关于原点对称()( )( )fxf xyf x 若函数f（x）为偶函数的图像关于y轴对称()( )( )fxf xyf x例 2 （10 江苏卷）的最小正周期为，其中，则= cos6f xx50【解题思路】代公式2T 解析:2,1055T【名师指引】先将解析式化为的形式,再用公式sin()(0,0)yAxk A进行处理.2T 【新题导练】5 （2009·广东）若函数，则是（D ）21( )sin()2f xxxR( )f xA最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数 2C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数2剖析,且为偶函数.211 cos211( )sincos22222xf xxx T答案D6. （A0，0）在x1 处取最大值，则 （ ）)sin()(xAxfA、一定是奇函数
