3.2 同角三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式

1cscseccottancossinBjnXBjnX第第 2 2 讲讲 同角三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式同角三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式知识梳理知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式的记忆法则 （1）对角线上对应的函数互为倒数； （2）每一个顶点对应函数等于相邻顶点对应函数的乘积； （3）阴影三角形中，上面二个顶点对应的函数的平方和等于下面一个顶点的平方。例如：1 22sincosxxsin cosx x tan x2用同角三角函数的基本关系式求值时应注意： 注意“同角” ，至于角的形式无关重要，如等；22sin 4cos 41 注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；tancot1(,)2kkZ对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用） ， 如：， ， 等。2cos1 sin 22sin1 cos sincostan3. 关于诱导公式（1）诱导公式()zk 角 函数正弦余弦记忆口诀 k2sincos sincos sincos sincos 2sincos函数名不变 符号看象限2cossin2cossin23cossin23cossin函数名不变 符号看象限（2）求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题， 具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(3)诱导公式解决常见题型 （A）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数； （B）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.重重 难难 点点 突突 破破 1.1.重点：重点：掌握利用同角三角函数的关系式和诱导公式三角式化简，求值与证明等问题。 2.2.难点：正确的使用难点：正确的使用同角三角函数的关系式和诱导公式。 3.重难点：重难点：通过审题分析已知条件和待求结论之间角的关系，确定好符号，使问题获解。 （1）. 对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.问题 1:化简：)()414cos()414sin(znnn错解错解：原式)4(cos)4(sinnn)4cos()4sin()4cos()4(2sin0)4cos()4cos(正解正解：原式)4(cos)4(sinnn（1）当，时)( 12zkkn原式+)4(2sink)4(2cosk=0)4sin()4cos()4cos()4cos(（2）当，时)(2zkkn原式+)4(2sink)4(2cosk+=0)4sin()4cos(（2）要注意角的范围,防止符号取错.问题 2:已知_cot051cossin），则，（，错解错解：两边同时平方，由得，与51cossin2512cossin57cossin2549cossin4)cos(sincossin4coscossin2sin)cos(sin2222解得：.cot53cos54sin，进而可求，43cot或解得：.cot54cos53sin，进而可求，34cot所以的值为正而导致错误.cossin正解：正解： ），（，051cossin两边同时平方，有联立，与51cossin02512cossin求出，53cos54sin43cot热热 点点 考考 点点 题题 型型 探探 析析考点 1 求值问题 题型：利用公式求三角式的值 例 1 （广东省执信中学 2011 届高三上学期期中考试）tan600°的值是（ ）A B C D 333333【解题思路】由于 6900超出了锐角的范围，故需先利用诱导公式进行化简解析由 tan6900tan（3002×3600）tan（300）tan300知应选 A3 3【名师指引】应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断例 2.(2008·韶关市高三摸底题)已知，则（ ）2tan )sin()2sin()cos()2sin(A、2B、2C、0D、32【解题思路】联想到诱导公式及对同角三角函数公式解题解析:B )sin()2sin()cos()2sin( coscos cossin 2221tan1 2 【名师指引】处理的齐次式的问题，通常采用化切法，即将分子分母或等式两边sin , cosxx同除以的最高次幂化为的关系式即可，这种题型高考中经常考。cosxtan x 【新题导练】1. （ ）sin210 ABCD3 23 21 21 2解析sin2100 =，选 D。1sin302 2(中山市高三级 20102011 学年度第一学期期末统一考试)若，则tan2= .2sincoscossincos解析解析: : 原式=2tan11 tan11tan 516ix考点 2 化简与证明问题 题型 1：三角式的化简例 3化简：化简：)sin()360cos( )810tan()450tan(1 )900tan()540sin(00000xx xxxx 【解题思路】利用诱导公式及三角变换公式化简三角函数式解析 原式原式000sin(180)1cos tan()tan(90)tan(90) sin()xx xxxxsin1tantan ()sintantanxxxxxx【名师指引】化简三角函数式化简是一种不指明答案的恒等变形，三角函数化为最简形式 的标准是相对的，一般是指函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出数值的 要求出数值，尽量使分母不含三角形式和根式 题型 2：三角恒等式的证明例例 4.4.求证：求证：22(1 sin)(1 cos)(1 sincos)【解题思路】将右边展开进行因式分解.证明：右边证明：右边2(1 sincos)22sin2cos2sincos2(1 sincossincos) 2(1 sin)(1 cos) 【名师指引】证明简单的三角恒等式一般方法有三种：即由繁的一边证到简单的一边；证 明左、右两边等于同一式子；证明与原恒等式等价的式子，从而推出原式成立在化简或证 明三角函数式时常用的技巧有：（1） “1”的代换为了解题的需要有时可以将 1 用“”代替22sincos（2）切化弦利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数 （3）整体代替将计算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式 之间的关系 题型 3：条件三角等式的证明例 5.已知23sin2sin,tan3tan,cos8求证【解题思路】已知条件中含角,待求结论只含,故考虑消元法, 证：由题设： 22sin4sin22tan9tan/： 22cos4cos9+： 4cos9sin224cos9cos12283cos2【名师指引】 等式中出现正弦、余弦和正切函数，一般采用“切化弦”的方法进行证 明若已知条件中的角多于待求结论中的角可考虑消元法. 【新题导练】3化简：sin()cos()sin()cos()222 cos()sin() 解析:0 ，sin()cos()cossin22sincos()cos ，故原式sin()cos()sin( sin)2sinsin()sin sinsin04已知：求证：1tan2010,1tan 1tan22010cos2解：11sin21 sin2tan2cos2cos2cos2cos2222(cossin)cossin1tan2010cossincossin1tan 5求证：1tan1tan cossincossin2122 解析：左边2222cossincossin2cossin 222cossincossin 右边1tan1tan cossincossin