概率统计第一章

概率论与数理统计,主讲教师 张宛平,选用教材： 现代应用经济学管理学系列教材 概率论与数理统计 张宛平等主编 立信会计出版社出版 参考教材： 概率论与数理统计 浙江大学盛骤等编，有配套学习辅导书 高等教育出版社出版,课程属性 经济管理类基础课程 上海师范大学商学院设定为限选课程 每周课时数 3 课时 每周课外复习练习自习时间 9课时 考核方式 考试课程 闭卷笔试 题型 单项选择题 计算题 应用题等,公共信箱 Probability_goodsina.com 密码 bcguanlixue12 用途：答疑、获取未给出答案的习题解 答、每章内容提要等,第一章 随机事件及其概率,§1 随机事件 1随机现象及其统计规律 确定性现象 在一定条件下必然会发生或必然不会 发生的现象 随机现象 在一定条件下存在多种可能结果并且 事先不能确定会出现哪一结果的现象,2随机事件 随机试验 满足两个条件： （1）可以在相同条件下重复进行； （2）可以知道所有可能的结果但不能预言会出现哪一个结果， 称这样的试验为随机试验。 随机事件 随机试验可能出现的结果， 简称事件,基本事件（样本点） 若随机试验的一组事件,满足： （）每一次试验必然出现且只能出现 其中的一个事件； （）试验的任一可能的结果都由这组 事件中的一些事件或所有的事件组成， 称这组事件为随机试验的基本事件或样 本点。,样本空间 所有样本点组成的集合，记作 随机事件可以表述为样本空间中样本 点的某个集合,常用大写的字母A、B、C 等表示。,例1 盒中有编号为1，2，3，4的四个 球，现从中随机地取出两个球。 （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）若设随机事件 A=取到的球中最大号码是3， 找出A的样本点。,解：用（i, j）表示试验的一个样本点，即取到的两个球号码为i, j, (i ,j=1,2,3,4) （1）因为试验所有的样本点是 （1，2）、（1，3）、（1，4）、 （2，3）、（2，4）、（3，4） 所以这一试验的样本空间 =(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),（2）事件A包含的样本点是 （1，3）、（2，3） A可以表示为 A= （1，3），（2，3）,例2 已知正常情况下两列地铁到达某一 车站的间隔时间是5分钟，观察某位 乘客到站后的候车时间。 （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）用样本点表示事件A=乘客候车时 间不超过3分钟,解：用 t 表示乘客在车站等候的时间。 根据题目所设，应有0 t 5。 （1）试验的样本空间 = t | 0 t 5； （2）事件A= t | 0 t 3,样本空间 包含所有的样本点，若把 也看作一个事件，则每次试验必有 中的样本点出现，因而一个随机试验的样本空间就是这一试验必定发生的事件。称每次试验必定发生的事件为必然事件，用 表示，它是样本空间的一个子集；称每次试验必定不发生的事件为不可能事件, 用 表示，它也是样本空间的一个子集。,3事件之间的关系及其运算 设随机试验的样本空间为，记A 、B、 为随机试验的事件 1）包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事 件B包含事件A，记为B A或 A B，特别地 规定： A，且A ； 若A B 且 B A，则称事件A与B相等， 记作 A=B。,注意： A B 表示事件A发生必导致事件 B发生 思考：考察某种动物的寿命，设A=该种 动物的寿命达10年，B=该种动物的 寿命达15年。是A B 还是B A ?,2）事件的和(或并) 事件A与事件B至少有一个发生的事件 称为事件A与B的和事件, 也称为事件A 与B的并，记作AB 或 A + B。 推广到n个事件，事件A1,A2,An中 至少有一个发生的事件称为A1,A2,An 这n个事件的和事件(或并)，记作 或,3) 事件的积(或交) 事件A与事件B同时发生的事件称为事 件A与事件B的积事件，也称为事件A与 B的交，记作 或 AB； 推广到n个事件，事件A1,A2,An同 时发生的事件称为A1,A2,An这n个事 件的积事件(或交)，记为,4) 事件的差 事件A发生，而事件B不发生的事件称为事 件A与事件B的差，记为 AB 。 5) 互不相容(互斥)事件 若事件A与事件B的积事件是不可能事件， 即 AB= ， 则称A与B是互不相容事件， 或称为互斥事件 若n个事件A1,A2,An中任意两个事件都互 斥，则称这n个事件是两两互斥的，记作 显然，随机试验中的基本事件是两两互斥的,思考： 若A B ，则 AB = = 任一事件A可以分解为 A=AB (A-B) 任一事件B可以分解为 B=AB (B-A) AB 与 (A-B) 互不相容， AB 与 (B-A) 互不相容。,6) 对立(互补)事件 若事件A与事件B的和事件是必然事件 即AB=， 且事件A与B的积事件是 不可能事件即AB = ， 则称事件A与B 互为对立事件，或称为互补事件， 记作 =B 或 =A。 显然，事件A的对立事件 是必然事件 与事件A的差事件，即 = A ； 两个互为对立的事件一定是互斥的，反 之则不然。,7) 完备事件组（样本空间的一个划分） 若事件A1, A2, , An两两互不相容， 且A1A2An=，则称 A1, A2, ,An 构成一个完备事件组（或A1,A2,An 构成样本空间的一个划分）。,注意： （1）事件 A与 构成样本空间 的完 备事件组； （2）事件 A-B = A ; （3）事件 B-A = B ; （4）若事件 构成样本空间 的一个完备事件组，又随机事件 B ,则有,例3 用A、B、C、分别表示事件A、 B、C发生，用A、B、C的运算关系表示： （1）A发生，B与C都不发生； （2）A、B、C中至少有一个事件发生； （3）A、B、C中恰有一个事件发生； （4）A、B、C中不多于两个事件发生； （5）A、B、C中至少有两个事件发生。,解：（1）A ； （2）A B C； （3）A B C,（4） 或 （5）,例4 从某大学一年级学生中任选一人。 设事件A=选到的学生是男生，B= 选到的学生是2班学生，C=选到的 学生是学校运动队队员。 试解释下列结论或事件： （1）ABC=C； （2）C B； （3） B 。,解： （1）学校运动队队员是2班男生； （2）学校运动队队员是2班学生； （3）选到的学生是2班女生，且不是学 校运动队队员。,小结：,重要概念 随机试验、随机事件； 样本空间、样本点； 事件和、积的定义及表示； 事件互不相容的定义及表示； 事件互逆的定义及表示； 完备事件组的定义及表示。,重要公式： 1事件的分解 （1）对任意事件A与B，有,（2）若随机事件 是样本空间 的一个划分，又事件 ，则有 。,。,2事件的包含 （1）对任意事件A与B，有 ； （2）当 时，有 。,3运算律,排列组合复习,选排列、全排列 从n个不同元素中无放回地选取m个 元素进行排列，所有可能的排列方式有 n(n-1)(n-m+1)= n! /(n-m)! 个，称此数为选排列数，记作 ；若 m=n，则称此数为全排列数，记作 ， = n!,有重复的排列 从n个不同元素中有放回地选取m个 元素进行排列，所有可能的排列方式有 （m个n相乘） n×n× ×n= 个，称此数为有重复的排列数。,3 组合 从n个不同元素中任取m个元素，所 有可能的选取方式有 n(n-1)(n-m+1)/m!=n! / m!(n-m)! 个，称此数为组合数，记作 。,乘法原理 完成一件事有n个步骤，每一步骤有 (i =1,2,n)种不同的方法，完成这件 事共有 种不同的方法。,5 加法原理 完成一件事有n类方法，只要选择一 类中的一种方法事情即可完成。若第 i 类方法有 （i =1,n）种不同的选 择，则完成这件事共有 种不同的方法。,预习,试回答下列问题： 1.随机事件的频率与随机事件的统计定义之间有怎样的联系？有怎样的区别？ 2.满足什么条件的随机试验称为古典概型？ 3.对于古典概型问题，事件的概率怎样计算？,§2 事件的概率,1概率的统计定义 频率 若n次试验中事件A出现了k次,则称比 值 为事件A发生的频率，记作 ， 即 =,掷硬币的试验 试验人 掷币次数 币值面朝上次数 频率 (n) (k) k/n 浦 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 事件A的频率在0.5附近作微小变动,2) 概率的统计定义 在相同条件下进行大量重复试验。当 试验次数充分多时事件A发生的频率在 某一确定值 附近微小波动，则称 为事件 A 的概率，记作P(A)，即 P(A) = 。 概率 Probability,实际问题中难以用概率的统计定义 求得随机事件的概率，通常仅在试验次 数n的值充分大时用事件的频率作为该事 件概率的近似。,2概率的古典定义,1）古典概型 如果随机试验具有以下特征： （1）有限性 每次试验所有可能结果 的个数有限； （2）等可能性 每次试验各个基本事 件发生的可能性相同， 则称这样的随机试验为古典概型。,2）概率的古典定义 对于古典概型，如果样本空间包含 的样本总数是 n，事件 A 包含的样本点 个数是 ，则事件 A 的概率是 ， 即 P(A) = 。,例1 把3本不同的书随机地放到一个四 层的书架上，每本书可以放到书架的 任意一层。求： （1）3本书恰在不同层的概率； （2）恰有2本书在同一层的概率；,解 因为每一本书可以放到书架的任意一层，所以3本不同的书放到四层的书架上，共有 种不同的放法。样本空间样本点的个数 n = 64。 （1）设事件A=3本书恰在不同层，则 A包含的样本点个数 ，,（2）设事件 B = 恰有2本书在同一层，则 B包含的样本点个数 ，,3.概率的公理化定义,定义 设随机试验的样本空间是 ，若对试验的每一个事件记作A赋予一个实数记作P(A)，则P(A)是一集合函数。若集合函数P(.)满足： 1）非负性，即对 有P(A) 0； 2）规范性，即有P( )=1； 3）可列可加性，即 中的事件 两两互不相容时，有 则称P(A)为事件A的概率。,概率的几个性质,P( )=0 （ 定义中的规范性P( )=1） 注意： 不可能事件的概率是0，但反之未必， 即P(A)=0时A未必是不可能事件； 同理，规定必然事件的概率是1，但 是概率为1的事件未必是必然事件。,若事件 两两互不相容， 则有 称此性质为概率的加法公式。由加法 公式得到 对任一事件 ，有,设A、 B是 中的任意两个事件， 则有 称此公式为广义加法公式。可以推 广到n个事件情形，n=3时，有,例2 抛2枚匀质骰子，求： （1）点数之和是3的倍数或点数之和是5的倍数的概率； （2）点数之和是偶数或点数之和小于5的概率； （3）至少有一枚点数是6的概率。 解：抛一枚匀质骰子，有6种可能的结果，抛2枚匀质骰子，共有6×6=36种可能的结果，即样本空间样本点总数 n = 36。,