高等代数课件--第三章 线性方程组§3.3 线性相关性

§3.3 线性相关性,一个十分重要的概念,一、线性组合,对于向量,1, 2, ,s ,如果存在P上的数k1,k2,ks使,定义：,= k11+ k22+ +kss,则称向量为向量组1, 2, ,s的一个线性组合另一种称呼是，可以由向量组1, 2, ,s线性表出。,注：,1）若=k，则称向量与成比例 ,2）零向量0是任一向量组的线性组合,3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出。,4）任一n维向量=(a1,a2,an)都是向量组1 = (1, 0,0), 2=(0,1,0), n=(0,0,1)的一个线性组合因为=a1+a22+ann,例1 判断向量=(2,1,3,4) 能否由向量组1=(1,2,3,1), 2=(5,5,12,11),3=(1,3,6,3)线性表出,若能,写出它的一个线性组合,解：设=k11+k2 2+k33，即有方程组,解方程组可得一个特解(1,0,1), 即=1 +3。,二、向量组的等价,若向量组1,2,s中每一个向量i (i=1, 2 , s)都可经向量组1, 2, t 线性表出，则称向量组1,2,s可以经向量组1, 2, t线性表出；若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价,1. 定义,2性质：,向量组之间的等价关系具有,1）反身性,2）对称性,3）传递性,(数学上的等价关系必须上述具有三性),三、线性相关性,1线性相关,定义 如果向量组中有一向量可由其余向量线性表出, 则向量组称为线性相关的,2) 任意一个含零向量的向量组必线性相关.,1) 向量组1,2线性相关1,2成比例。,特殊情形,3) 一个向量构成的向量组线性相关，则向量为零向量.,等价定义,问题:在s2时,上述两个定义为什么等价？,向量组1,2,s(s2)称为线性相关的，如果存在不全为零的数k1,k2,ks ,使 k11+k22+kss=0,2. 线性无关,向量组1,2,s(s2)称为线性无关的,如果不存在不全为零的数k1,k2,ks ,使 k11+k22+kss=0,定义,等价定义 对于向量组1,2,s(s1) ，如果由k11+k22+kss=0可以得到 k1= k2= =ks=0成立, 称此向量组为线性无关的。,1) 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量,2) 一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出,性质,4) 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关.,3) 一个向量组中若部分向量线性相关, 则整个向量组也线性相关；,5) 如果向量组1,2,s线性无关，而向量组1,2,s ,线性相关,则可由向量组1,2,s线性表出,证明过程,（部分组相关，整体相关）,6) 如果i=(ai1, ai2, ain), i=1,2,s,则向量组1,2,s线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组,只有零解；向量1,2,s组线性相关的充要条件是齐次线性方程组(*)有非零解,在向量个数为n时，根据Cramer法则，前一结论可改写,1,2,s线性无关|aij|0,已知i=(ai1, ai2, ain), i=1,2,n, 则,1,2,s线性相关|aij|=0,7）若向量组1,2,s线性无关,其中i= (ai1, ai2, ain), i =1,2, s, 则1, 2, s 也线性无关，其中i=(ai1, ai2, ain, ain+1).,注：称1, 2, s 为1,2,s的延长组， 1,2,s为1, 2, s的缩短组，,反之 若1, 2, s 线性相关，则1, 2, s必线性相关,8）线性相关性的基本定理,设1,2,r(I)与1, 2, s(II)为两个向量组，若 i) 向量组(I)可由向量组(II)线性表出， ii) rs 则向量组(I)必线性相关,定理,推论1 如果1,2,r可由1, 2, s线性表出,且1,2,r线性无关,则 r s 。,推论2 任意n1个n维向量必线性相关。,推论3 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量;反之不然,即含向量个数相同的两个线性无关的向量组未必等价.,已知向量组1,2,3线性无关,且1= 1+2, 2= 2+3, 3= 3+1,证明1,2,3线性无关.,例2,四、极大线性无关组、秩,1. 极大线性无关组,定义 一个向量组的一个部分组如果本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添加一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关，则此部分组称为一个极大线性无关组。,等价定义：,则称i1, i2,ir为向量组1, 2,s的一个极大线性无关组（简称极大无关组）,设1, 2,s为Pn中的一个向量组，它的一个部分组i1, i2,ir若满足,i) i1, i2,ir线性无关,ii) 对任意的j (1 j s), j可经i1, i2, ir 线性表出,性质：,1) 通常一个向量组的极大无关组不唯一。,2) 一个线性无关的向量组的极大无关组就 是其自身,3)一个向量组的任意两个极大无关组都等价,4) 一个向量组的任意两个极大无关组都含 有相同个数的向量,2. 向量组的秩,向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩,定义,性质：,1) 向量组线性无关秩等于所含向量个数 向量组线性相关秩小于所含向量个数,2) 等价向量组必有相同的秩.(反之不然),3) 若向量组1,2,r可由向量组1, 2, , s 线性表出, 则秩(1, 2,r)秩(1,2,s )。,Its over！,证明过程,因为1,2,s ,线性相关，所以存在不全为零的一组数k1, k2, ks,k使 k11+k22+kss+k =0,如果k=0,则k11+k22+kss=0, 因为k1, k2, ks,k不全为零, 所以k1, k2, ks不全为零，因此1,2,s线性相关，与已知条件矛盾。所以k0，从而,返回,