线段之和最短问题

1线段之和最短问题线段之和最短问题一一常见数学模型：常见数学模型：1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。lAB3. 如图，直线 和 的异侧两点 A、B，分别在直线 、 上求作一点 P、Q 两点，1212使 AP+PQ+QB 最小。4. 如图，直线 的同侧两点 A、B，分别在直线 上求作一点 P、Q 两点，且 PQ=a，11使 AP+PQ+QB 最小。l2l1ABlA Bal1BA25.如图，点 P 是MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B 使PAB 的周长最小。6.如图，点 P，Q 为MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边形 PAQB 的周长最小。NM0P为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点 A 是MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小6. .如图，点 A 是MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小NM0A为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”0MNPQNM0A3练习题练习题1在平面直角坐标系中，有 A（3，2） ，B（4，2）两点，现另取一点 C（1，n） ，当 n =_时，AC + BC 的值最小2 2如图，护城河在 CC处直角拐弯，宽度保持为 4 米，从 A 处往 B 处，经过两座桥：DD，EE，设护城河是东西南北方向的，A，B 在东西方向上相距 64 米，南北方向上相距 84 米，如何设计两座桥梁 DD，EE的位置，使由 A 地经过两座桥梁后到 B 地的路程最短？最短路程是多少？3如图AOB = 45°，P 是AOB 内一点，PO = 10，Q、P 分别是 OA、OB 上的动点， 求PQR 周长的最小值BAOPyxBA12341234 12341234OBA4EDCBA4如图，在ABC 中，ACBC2，ACB90°，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一 动点，则 ECED 的最小值为_。5如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC。已知 AB=5，DE=1，BD=8，设 CD=x. (1)用含 x 的代数式表示 ACCE 的长； (2)请问点 C 满足什么条件时，ACCE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。错误！未定义书签。x2 + 4 的最小值(12 - x)2 + 956桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖） ，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口内壁离杯 口 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向 离桌面 3 厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位 置。7著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路 x 同侧，( )A( )B、到直线 x 的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一50kmABA，B10km40km 服务区，向、两景区运送游客如果拟建的恩施到张家界高速公路 y 与沪渝高速公PAB 路垂直，建立如图所示的直角坐标系，到直线 y 的距离为，请你在 x 旁和 y 旁各B30km 修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小PQPABQ 值A'ABBAyxBAO68如图，在锐角ABC 中，AB = ，BAC45°，BAC 的平分线交 BC 于点4 2D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_9如图，ABC 中，AB=2，BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值 10如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点） 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小； 当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为时，求正方形的边长.3 + 130°2ABCMNDCBAENBCADM7参考答案 1在平面直角坐标系中，有 A（3，2） ，B（4，2）两点，现另取一点 C（1，n） ，当 n =_时，AC + BC 的值最小 点 C（1，n） ，说明点 C 在直线 x=1 上，所以作点 A 关于 直线 x=1 的对称点 A'，连接 A'B，交直线 x=1 于点 C，则 AC+BC 的值最小 设直线 A'B 的解析式为 y=kx+b，则 -2=-k+b 2=4k+b 解得：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x-(6/5) 当 x = 1 时，y = -(2/5) 故当 n = -(2/5)时，AC+BC 的值最小2 2如图，护城河在 CC处直角拐弯，宽度保持为 4 米，从 A 处往 B 处，经过两座桥：DD，EE，设护城河是东西南北方向的，A，B 在东西方向上相距 64 米，南北方向上相距 84 米，如何设计两座桥梁 DD，EE的位置，使由 A 地经过两座桥梁后到 B 地的路程最短？最短路程是多少？如图，作 BBa，AA b，且 BB = 4，AA = 4，连接 AB，交河岸于点 E，D，分别过点 E、D架设桥梁 DD，EE，则 ADDEEB 是最短路线。因为四边形 ADDA、四边形 BEEB都是平行四边形，所以 BE = BE，AD = AD，因为A，B之间线段最短，所以 ADDEEB 是最短路线，又BF = 64，AF = 84，所以 BF = 60，AF = 80，在直角三角形 ABF 中，由勾股定理得，AB = 100，最短路线为 108 米xy1234123412341234A'BAObaDEE'D'ABbaFDEE'D'B'A'BARQP2P1AOBP83 3如图AOB = 45°，P 是AOB 内一点，PO = 10，Q、P 分别是 OA、OB 上的 动点，求PQR 周长的最小值分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1P2， 交 OA、OB 于点 Q，R，连接 OP1，OP2， 则 OP = OP1 = OP2 = 10 且P1OP2 = 90° 由勾股定理得 P1P2 = 1024如图，在ABC 中，ACBC2，ACB90°，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一 动点，则 ECED 的最小值为_。 即是在直线 AB 上作一点 E，使 EC+ED 最小 作点 C 关于直线 AB 的对称点 C'，连接 DC'交 AB 于点 E，则线段 DC'的长就是 EC+ED 的最小值。 在直角DBC'中 DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=55如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC。已知 AB=5，DE=1，BD=8，设 CD=x. (1)用含 x 的代数式表示 ACCE 的长； (2)请问点 C 满足什么条件时，ACCE 的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。错误！未定义书签。x2 + 4 的最小值(12 - x)2 + 9(1)AC = ，CE = 则 AC+CE = (8 - x)2 + 25x2 + 1+ (8 - x)2 + 25x2 + 1 (2)A、C、E 三点共线时 AC+CE 最小 连接 AE，交 BD 于点 C，则 AE 就是 AC+CE 的最小值 最小值是 10 (3)如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值 在直角AEF 中,AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 135 1x8-xFE'BDAEC 'DE9（3）求代数式（0x4）的最小值x2 + 1 + (4 - x)2 + 4如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值在直角AEF 中 AF = 3 EF = 4 则 AE = 5 所以，这个代数式的最小值是 56桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖） ，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口内壁离杯 口 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向 离桌面 3 厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位 置。 析：展开图如图所示，作 A 点关于杯口的对称点 A。则 BA=15 厘米92 + 1227著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同( )A( )BX侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁50kmABA，BX10km40km 修建一服务区，向、两景区运送游客如果拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝PABY 高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在BY30km 旁和旁各修建一服务区、，XYPQ使、组成的四边形的周PABQ 长最小并求出这个最小值 分别作点 A、B 关于 x 轴、y 轴的对称 点 A'，B'，连接 A'B'，交 x 轴、y 轴 于点 P、Q，则四边形 PABQ 的周长最 小 构造如图 在 RtA'B'C 中，B'C = 30+30+40 = 32x12-xCFBDAE21x4-xFBDAECxy图(3)CQPA'B'BAOA'ABBA10100，A'C = 10 +40 =50 所以 A'B' = =501002 + 50258如图，在锐角ABC 中，AB = ，BAC45°，BAC 的平分线交 BC 于点4 2D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_作点 B 关于 AD 的对称点 B'，过点 B'作 B'EAB 于点 E，交 AD 于点 F，则线段 B'E 的长就是 BM的最小值 在等腰 RtAEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 49如图，ABC 中，AB=2，BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值 作 AB 关于 AC 的对称线段 AB'，过点 B'作 B'NAB，垂足为 N，交 AC 于点 M，则 B'N = MB'+MN = MB+MN B'N 的长就是 MB+MN 的最小值 则B'AN = 2BAC= 60°，AB' = AB = 2，ANB'= 90°，B' = 30°。所以 AN = 1 在直角AB'N 中，根据勾股定理B'N = 310如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点） 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小； 当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为时，求正方形的边长.3 + 1FEB'DBACMN30°2ABCMN30°2MNB'BAC11(2)连接 AC，交 BD 于点 M，则 AM+CM 的值最小 连接