微积分(一)期终复习

期终复习,常见考试题型:,判断题、选择题、填充题、计算题、讨论题、作图题、证明题、应用题等.,一、计算题,1.计算内容,极限、导数、微分、不定积分.,2.计算方法,(1) 极限,上页 下页 返回 结束,运算法则、两个重要极限、两个准则、 罗必塔法则、导数定义等.,(2) 导数,(3) 微分,上页 下页 返回 结束,(4) 不定积分,基本初等函数的导数公式、四则运算求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、对数求导法、高阶导数求法等.,微分定义、微分形式的不变性、微分运算公式等.,直接积分法、换元积分法、分部积分法等.,3.计算方法举例,例1.求下列极限:,上页 下页 返回 结束,( 型),( 型),( 型),( 型),= 1,= 1,上页 下页 返回 结束,( 型),( 型),( 型),( 型),( 型),( 型),( 型),(单调有界数列 ),( 型),( 型),( 型),由夹逼定理,例3. 设,令,则,当 时,解:,求极限,例4.求下列导数或微分:,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,. . .,例5.求下列不定积分:,上页 下页 返回 结束,(分部),(根式代换),(直接积分_拆项),(直接积分_拆项),令,则,上页 下页 返回 结束,(分部),(分部),(凑微分_配方),(凑微分),上页 下页 返回 结束,(凑微分),(凑微分),另解,二、讨论题,1.讨论题的内容,收敛与发散、,连续与间断、,可导与不可导等.,2. 讨论的根据,根据定义,3. 讨论题举例,例1.设有函数,问常数a为何值时,极限 存在?,解:,= 0,要使极限 存在,应有,即,上页 下页 返回 结束,例2.讨论函数,在x=0处的连续性与可导性.,解:,所以在x=0处函数不可导.,又,故函数在 x=0处的连续.,上页 下页 返回 结束,例3.研究下列函数在x=0处的连续性,若为间断点试确定其类型.,(第一类,可去间断点),三、证明题,1. 证明题的内容,不等式、等式、逻辑推理等.,2. 证明的根据,闭区间上连续函数的性质(零值定理,函数单调性等.,3. 证明题举例,上页 下页 返回 结束,(第一类,可去间断点),(第一类,跳跃间断点),最值定理),中值定理(罗尔定理,拉格朗日中值定理),例1. 证明方程,证:,设,则,在 0 , 6 上连续 ,且,使,即方程 有小于 6 的正根.,上页 下页 返回 结束,至少有一个不超过6的正根.,根据零点定理，在开区间(0,6)内至少存在一点,故命题得证,例2.证明不等式,(1)设,则,< 0,即,即 , 为单调减函数,故有,而,即,(2)又设,证:,上页 下页 返回 结束,则,< 0,即,即 , 为单调减函数,故有,而,即,故由(1),(2)可知不等式成立.,上页 下页 返回 结束,例3.证明不等式:当 时,证:,令,则,(1) 当 时,有,所以等号成立;,(2) 当 时,>0,即,为单调增函数, 即,当 时,有,而,即,由(1) ,(2)可得当 时,有不等式 成立.,上页 下页 返回 结束,四、作图题,用分析法作图的步骤,(1) 确定函数,的定义域 ,并考察其对称性,及周期性 ;,(2) 求,并求出,及,为 0 和不存在,的点 ;,(3) 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,(4) 求渐近线 ;,(5) 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,(求关键点),( 判别曲线形态),上页 下页 返回 结束,例2.列表表示函数,的单调区间,极值,凹凸区间和拐点.,解: 1),2)求可疑点,令,= 0 , 得,令,= 0 , 得,3)列表描述曲线性态求可疑点,+,-,-,+,0,0,0,-,-,+,+,3,-1,1,极大值,极小值,拐点,五、应用题,1. 应用题内容,经济上的最值、边际、弹性及在几何上的应用等.,2. 应用题举例,例1. 求曲线 在(0,1)处的切线方程.,解:,即斜率为0.,故所求的切线方程为,即,例2. 求过点(1,2)且切线斜率为 的曲线方程.,解:,将点(1,2)代入方程,得,上页 下页 返回 结束,故所求的曲线方程为,例3. 已知某商品的需求函数为Q=10000-100p,总成本 函数为C=10000+4Q,求使总利润最大的价格p(元/件).,解:,得,为极大值点,也就是最大值点.,答:当价格为52元/件个价格单位时,总利润最大.,上页 下页 返回 结束,例4.设某种商品的需求函数Q=400-100p ,求 p =1, 2, 3 时的弹性,并给以适当的经济解释.,解:,当 p=1 时,此时为低弹性.降价总收入减少,提价总收入将增加.,当 p=2 时,此时为单位弹性.提价或降价对总收入无明显影响.,当 p=3 时,此时为高弹性.降价将使 总收入增加.,