大学高等几何课件第四讲

例1设直线1分别与四边形48CD的四边4B,BC,CD,D4交于又L,M,MN,日4C与BD交于0,而KO,LO,MO,NO分别与CD,D4d,4B,BC交于P,O,R,8.证明:P,Q,R,5四点共线“一fTpATi招/1“汐忒弓证明:适当选择中心投影将四点形48CD变为正方形忘BCD,显然,R,Q,R,8分别为K,7,M,M关于Ql的对称点,从而共线故由射影不变性即可得到结论.例2.设四过形48CD的48与CD交于5.BC与D4交于F.在对角线4C上任取一点G,连接8G分别交5C,D4于P,O,连接FG分别交4B8.CD于R,8-证明RQ,BD,PS共点证明:适当选择中心投影将48CD变为平行四边形,这时,因为4BCD是平行四边形,且PO/4B,RS/4D,故4RGO,.CPGS也是平行四边形故RO/BD/PS,于是RO,BD,PS共点因为同素性,接合性在中心投影下不变,所以原结论成立2.2“齐次坐标点和直线的概念已经拓广,描述点和直线的代数表示也应作相应的拓广才能满足需要直线上的一点M原先用一个坐标x表示的,现在约定用两个坐标()来表示,称为齐次坐标,而x称为非齐次坐标,两者之间的关系是E心二一,a6奂0.CZ芯且规定对于任何2(<0)2(xr,x)=(zr,c)和(xu,x)代表直线上的同一个点当=0,x孕0时,我们用(n,0)=(L0)代表直线上的无穷远点.(0.0)不代表任何点同样,在平面上,我们把非齐次的笛卡尔坐标()推广为齐次管卡尔坐标(x,x,x)使江江二一,二一,命大0.E吊并规定对于任何2(<0(x,xz,口)=(,Aro,c)和(x,xo,x)代表口为方向参数的直线上的无穷远点.(0.0.0)不代表任何点.(0.0)代表x轶上的无穷远点,(0.10)代表y钰一的无穷远点.(0,0:1)代表原点一点为无穷远点的特征是;s=0,所以x;=0取作无穷远直线的方程按射影的观点,x=0跟其它的点没有区别直线助汀十My十i二0以齐次坐标表示,为助河十i十训z5二0它是r,xm,is的一次齐次式圆锥曲线i十2QoxJ十55标十2Q1ar十2十Q二0.用齐次坐标表示,为酊兀lZ十2Qoxix十酊ZZ兀ZZ十2河吴十2十x二0它是x的二次齐次式斜率为K的直线y=r+8的齐次方程为x=i+r,和无穷远直线x=0联立求解得交点坐标为m;:m=1:K:0.故斜率为k的直线上的无穷远点是(,p.0)同样,两直线G:Ql十Q十Q二0,即a.x一0士:口顺十助巩十义二0,。即5.x三0的交点坐标为5人5l0澄Z澄澄澄l澄l澄Z由此可见,用矢量表示,则宇线a.即a.x=0和直线.即5.x=0的交点坐标为颂1512一:2Q丁以上讲的是点坐标下面介绍线坐标直线Q:Qiii十Qoa十0ois二0由它的系数aao,侦定(线坐标用方括号表示)并且Aa,。,20j(2大0)和al,a,a:代表同一直线我们把不全为零的三个数#,ito,i称为直线佳“沥二劲芸十训z十Ma二0的线坐标,矢量2u(2+<0)和矢量v代表同一条直线,而不论因子2(<0)为何值,线坐标L0.00:10.0.0,1分别表示y拓,x轶和无穷远直线两点a(al,ao,aa)8(5,5,%:)联线的方程可写为医。许QlQ。QaD5的其坐标为x=ax0.二0即(ab一ao8o)十(aap一Q)ro十(alh一281)ar二0。注意:点看直线转动的包络这时把w,wo,看作变数,把,x,x:看作定数,于是x+xmw+=0代表以定点x(x,xo,x)为中心的直线束,我们把它称为点x的线方程例如i十i一i二0代表一点它的坐标是这方程的系数LLL-1D,i二0代表点(0.0即x轴上的无穷远点i=0代表(0L0),即y轴上的无穷远点i二0代表(0.0.1),即坐标远点2.3对偶原理点和直线称为射影平面上的对偶元素.若点在直线上或者直线经过点.便称点与直线接合一个平面几何和题,如果只涉及点与直线的接合关系,则该命题称为是射影的,这是因为:在一个平面X上相接合的点与直线经过中心投影后便成为另一平面z上仍相接合的点与直线因此,射影命颊姑过任何中心投影后.仍保持原租射影平面上.只用点与直线的接合关系表达的全部命题,构成平面射影几何学.射影命题大都是成对出现.在一个命题将“点“与“直线互相对调并将接合关系按通常的理解来叙述,便得其对偶命题对偶命题举例煜几何1.两点决定一条直线2.史点坐标的一次方程4r+Br,+Css=0表示一条李线其坐标为w=心山=B=C3,点a和8所决定的直线.其坐标为ax4三点a(al,au,aa)B(B,b,b),c(ccu,c)共线aal吴足东Cl2山口a.8.c的混合积为零口a.8,c线性相关口存在三个不全为零的实数古v,使得2a+Lb+ve=0.口二0