沈晨竞赛讲义竞赛课件3：平衡问题探骊

平衡问题探骊,物体平衡的种类,稳定平衡,模型特征,O,稍微偏离原平衡位置后能回到原位置,不稳定平衡,模型特征,稍微偏离原平衡位置后不能回到原位置,随机平衡,模型特征,能在随机位置保持平衡,O,平衡位置是位能最低的位置,判断物体平衡种类的一般操作,对由重力与支持力作用下的平衡,设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置,或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；,为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述，故常需运用合理的近似这一数学处理手段,或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的平衡态属于哪一种,依问题的具体情况，择简而从,如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半径分别为a、b且长轴的长度为l，蛋圆的一端可以在不光滑的水平面上稳定直立求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直立，碗的半径r需满足的条件,专题3-问题1,考察质心位置的高度变化,蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足,B,A,b,a,l,R,低细节 描述,蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足,微扰情况下、为小量，,整理得,碗的半径,续解,M,N,-,C,A,B,蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足,续解,续解,考察质心位置侧移量,蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支点N的力矩可使蛋返回原位，即满足,低细节 描述,碗的半径,如图所示，杆长l=a+b,质心在C点,杆的A、B两端分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡.试问在图示位置时,此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡？并证明之.,专题3-问题2,先研究三力杆平衡时的几何位置特点:,A,B,a,b,O,在BOC中由正弦定理:,证明,FA,FB,G,证法一:,考察质心位置的高度变化,扰动后当杆处于与右斜面成夹角方位时,已有 结论,质心C的高度有最大值,受扰动后杆质心降低,属,不稳定平衡,续解,证法二:,考虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量,O,原平衡位置时杆的瞬时转动中心为O,如示扰动后杆的瞬时转动中心为O,此时,重力对O的力矩为0,此时,重力对 的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置!,不稳定平衡,a,b,如图所示，课桌面与水平面夹角成，在桌面上放一支正六棱柱形铅笔，欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑动试求：在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数铅笔的轴与斜面母线（斜面与水平面的交线）应成多大的角度放置？,专题3-问题3,考虑不滑动,铅笔在斜面上恰不滑动,有,摩擦角恰为斜面倾角,若满足,笔不会因滑动而破坏平衡!,考虑不滚动,低细节 描述,笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面!,应满足,放置笔时笔的轴线与斜面母线所成角,笔不会因滚动而破坏平衡!,B1,B,O,A,C,a,过笔质心的横截面,临界状态下,续解,重力作用线,飞檐问题：如图所示，建造屋顶边缘时，用长度为L的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的1/8，如果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样的几层砖最多可使屋檐“飞”出多长？,专题3-问题4,L,若共堆n层、每块伸出1/8的砖而恰未翻倒,C全,nG,1,2,3,n,最上1层砖恰不翻倒,最多伸出,最上2层砖恰不翻倒,最多伸出,最上3层砖恰不翻倒,最多伸出,以此类推，7层砖的最大伸出,如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴O转动它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，线框开始转动，最后静止的平面位置是图中的,小试身手题1,A,B,B,B,O,C,B,O,D,B,O,选项A,不稳定平衡,选项B,稳定平衡,选项C,不稳定平衡,选项D,不稳定平衡,图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？,小试身手题2,随机平衡,稳定平衡,不稳定平衡,给两小球线绳系统一扰动,从受力角度考察受扰动后,两小球重力沿绳方向力的合力指向,从而判断平衡种类!,如图所示装置，它是由一个长L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆，以及在木杆的末端装有质量同为m的小重球而组成木钉及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为，此装置放在硬质木柱上，则l、L、间应当满足_关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置只能以O点为支点摆动而不致倾倒,小试身手题3,为满足题意即系统处于稳定平衡,给系统一扰动, 两小球重力对O的力矩应能使系统回到原位!,原平衡位置时,受一微扰后,不能回到原位,原平衡位置时,受一微扰后,能回到原位,如图所示,长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式(x) （杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）,小试身手题4,为满足题意即杆处于随遇平衡,应使杆的重心始终在x轴!,(0,),(x,y),表面的横截线满足,该表面为椭球面的一部分,如图所示,两个质量分别为m1和m2的小环能沿着一光滑的轻绳滑动绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使m1、m2在其两边设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时， 直杆与轻环两边的绳夹角为 试证：,小试身手题5,m2,m1,同一光滑绳上张力处处相同设为FT,FT,两小环平衡,分析受力如图:,FT,由力矢量三角形:,一根质量为m的均匀杆，长为L，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动有两根水平轻弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k为何值时才能使杆处于稳定平衡？,小试身手题6,为使杆处于稳定平衡,给杆一扰动,弹簧拉力对O的力矩应大于杆重力矩!,FT,即,其中,得,FT,如图所示,一块厚d的木板位于半径为R的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方板与圆柱的一根摩擦因数为试求板可以处于稳定平衡状态的条件,小试身手题7,R,C,令板从原平衡位置偏转一小角度,板处于稳定平衡条件是重心升高!,以圆柱轴为参照,原板重心高度,扰动后重心高度,应有,考虑到,且,如图所示,用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度h2R，质量为m1沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条长lh，质量为m2当将浮子辐条向上地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中浮子的状态是稳定的吗？,小试身手题8,先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：,浮子偏转小角度,低细节 描述,浮子为不稳定平衡!,浮子为随遇平衡!,浮子为稳定平衡!,至题9,C,C,续解,如图所示,儿童玩具不倒翁高h21cm，质量m300g，相对轴KD对称分布不倒翁的下部是半径Rcm的球面，如果不倒翁放在与水平面成角30°的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向倾角45°，则处于稳定平衡状态为了使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶加多少塑泥？,小试身手题9,先求原重心位置：,在三角形OCD中运用正弦定理：,在水平面上：,不倒翁失去稳定平衡条件是重心高于O!,m,有一长为0.2 m、截面积为2 cm2的均匀细棒，密度为5×102 kg/m3在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面，若细棒露出水面部分的长为0.02 m，则小铁片质量为多少？不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上端面与水面齐平？要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重?,小试身手题10,分析此时受力：,此时态势为：,低细节 描述,系统为稳定平衡条件是浮心高于合重心!,至题11,C总,C总,C总,不稳定平衡,随机平衡,稳定平衡,续解,两个相同长方体处于图示位置问当角为多少时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为，长方体长b宽a长方体间无摩擦,小试身手题11,分析受力：,系统可能平衡条件是,在此条件下,对右物块由力矩平衡,在此条件下,对左物块由力矩平衡,综上,在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB，设各接触面的摩擦角均为（tg）,求平衡时杆AB与斜面AO交角的范围已知斜面BO与水平面交角为,小试身手题12,三力杆平衡时的几何位置特点:,不稳定平衡,杆两端约束力与重力三力汇交,当=时,G,A,B,O,fA=0 fB=0,续解,结论:,平衡时杆AB与斜面AO交角的范围为,当时,A,B,G,fA=f m fA=f m,fA=f m fB f m,fB=f m fA f m,杆平衡位置与左斜面的夹角,续解,当时,G,A,B,fA=f m fA=f m,fA=f m fB f m,fB=f m fA f m,杆平衡位置与左斜面的夹角,返回,4个半径均为R的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内该4球球心恰在同一个水平面上，现将相同的第5个球放在前述4球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？,小试身手题13,几何描述,上球对下各球压力由对称性得,各球三力构成闭合三角形,由力三角形与几何三角形相似求碗半径!,碗半径r由几何三角形,动态分析,结论:,使系统平衡碗半径,俯视图,P,P,剖面图,球心与切点空间位置,P,G,T,N,续解,碗半径增大,平衡破坏!,碗半径减小,平衡可维持至此!,续解,