齐次变换

1,机器人运动学,第四章 数学基础齐次坐标和齐次变换,2,2.1 引言 机器人位置和姿态的描述,机器人可以用一个开环关节链来建模 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操纵物体,人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题 机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系,3,丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg） 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题D-H方法 具有直观的几何意义 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 其数学基础即是齐次变换,4,2.2 齐次坐标,一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。,式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，a= , b= , c= ，w为比例系数,显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1 。,列矩阵,5,例：,可以表示为：V=3 4 5 1T 或 V=6 8 10 2T 或 V=-12 -16 -20 -4T,6,齐次坐标与三维直角坐标的区别,V点在OXYZ坐标系中表示是唯一的（x、y、z） 而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。,7,几个特定意义的齐次坐标：,0, 0, 0, nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 1 0 0 0T指向无穷远处的OX轴 0 1 0 0T指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T指向无穷远处的OZ轴,8,2.3坐标系在固定参考坐标系原点的表示,一个中心位于参考坐标系原点的坐标系由三个向量表示，通常这三个向量相互垂直，称为单位向量 每个单位向量都由它们所在参考坐标系中的三个分量表示。则坐标系可以由三个向量以矩阵的形式表示为：,9,2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示,在该坐标系的原点与参考坐标系的原点之间做一个向量来表示该坐标系的位置。这个向量由相对于参考坐标系的三个分量来表示。那么，这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示。,10,2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示,前三个向量是w0的方向向量，表示该坐标系的三个单位向量 的方向，而第四个w1的向量表示该坐标系原点相对于参考坐标系的位置。,11,2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示,例：如图所示的F坐标系位于参考坐标系中3，5，7的位置，它的n轴与x轴平行，o轴相对于y轴的角度为45°，a轴相对于z轴的角度为45°。该坐标系可表示为：,12,2.5齐次变换矩阵,在同一矩阵中既表示姿态又表示位置，那么可以在矩阵中加入比例因子使之成为4×4矩阵。如果只表示姿态，则可去掉比例因子得到3×3矩阵。这种形式的矩阵称为齐次矩阵：,13,2.5齐次变换矩阵,变换定义为空间的一个运动，当空间的一个坐标系相对于固定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。 变换可有以下几种形式： （1）纯平移变换； （2）绕一个轴的纯旋转变换； （3）平移与旋转相结合的变换。,14,2.5齐次变换矩阵纯平移,纯平移的变换：一个坐标系在空间以不变的姿态运动。它的方向单位向量保持同一方向不变。所有的改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化。 相对于固定参考坐标系的新的坐标系的位置可以用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩阵形式，新坐标系的表示可以通过坐标系左乘变换矩阵得到。由于在纯平移中方向向量不变，变换矩阵T可以简单地表示为：,P,15,2.5齐次变换矩阵纯平移变换,P,16,2.5齐次变换矩阵纯平移变换,结论： 1.新坐标系位置可通过在坐标系矩阵前面左乘变换矩阵得到； 2.方向向量经过纯平移后保持不变，但新的坐标系的位置是 各 向量相加的结果； 3.齐次变换矩阵与矩阵乘法的关系使得到的新矩阵的维数各变换前相同。,17,2.5齐次变换矩阵纯平移变换,例：坐标系F沿参考坐标系的x轴移动9个单位，沿z轴移动5个单位。求新的坐标系位置。,18,当坐标系绕x轴旋转时，坐标系上的点P也随坐标系一起旋转。旋转前，P点在两个坐标系中的坐标是相同的。旋转后，该点的坐标 在旋转坐标系中保持不变，但在参考坐标系中 改变了。求P点在固定参考坐标系中的新坐标。,为了简化绕轴旋转的推导，首先假设该坐标系位于参考坐标系的原点。然后推广到其他的旋转以及旋转的组合。,P点为旋转坐标系上的一点 则： P点相对于参考坐标系的坐标为：P点相对于运动坐标系的坐标为：,2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换,x,y,z,a,o,P,n(n),19,任一矢量的分量就是该矢量在参考系上单位方向的投影。,2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换,x,y,z,a,o,P,n(n),要求 可以先求 在X、Y、Z单位方向上的分 量，则：,20,2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换,21,2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换,22,例：旋转坐标系中有一点 ，此坐标系绕参考坐标系x轴旋转90°。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。,2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换,23,例1：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参考坐标系 做如下运动： R（x, 90°）； R(z, 90°)； R(y,90°)。求点 在固定参考坐标系 下的位置。,解1：用画图的简单方法,2.5齐次变换矩阵复合变换,24,解2：用分步计算的方法, R（x, 90°）, R（z, 90°）, R（y, 90°）,（2-14）,（2-15）,（2-16）,25,上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：,R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：,定义1：当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换,26,2.6 相对变换,举例说明： 例1：动坐标系0起始位置与固定参考坐标系0重合,动坐标系0做如下运动：R(Z,90º) R（y,90º） Trans(4，-3, 7)，求合成矩阵,解1：用画图的方法：,27,解2：用计算的方法,根据定义1，我们有：,以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。 如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：,例2：先平移Trans (4,-3,7)；绕当前 轴转动90º；绕当前 轴转动90º；求合成旋转矩阵。,（2-20）,28,解1：用画图的方法,解2：用计算的方法,（2-21）,29,式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论： 动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况： 定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。,结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系，,也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。,30,2.7 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换,有时动坐标系O´可能绕过原点O的而分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r 转动角。 研究这种转动的好处是可用O´绕某轴r 的一次转动代替绕O各坐标轴的数次转动 为推导此旋转矩阵，可作下述变换： a. 绕X 轴转角，使r 轴处于XZ平面内 b. 绕Y 轴转-角，使r 轴与OZ轴重合 c. 绕OZ轴转动角 d. 绕Y 轴转角 e. 绕X 轴转-角,31,由上图容易求出：,由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：,（2-25）,32,带入式（2-25），得,33,2.8 齐次交换矩阵的几何意义,设T= ，有一个手爪，已知其在O的位置，设一个该坐标系O´，已知， ，那么O´在O中的齐次坐标变换为 ，如果手爪转了一个角度，则：,34,T反映了O´在O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。 该矩阵可以由4个子矩阵组成，写成如下形式：,为姿态矩阵，表示动坐标系O´在固定参考坐标系O中的姿态，即表示O´各坐标轴单位矢量在O各轴上的投影,为位置矢量矩阵，代表动坐标系O´坐标原点在固定参考坐标系O中的位置,为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一般置为0,为比例系数,35,如果需要求解O在O´中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为 ，即求逆矩阵：,其中：,这些式子以后经常遇到，在机器人计算中，所要求的就是齐次变换矩阵,36,知识点：,点和面的齐次坐标和齐次变换 三个基本旋转矩阵 绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。 相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 绕任意轴选转，5步顺序 透视变换,37,练习1： O´与O初始重合，O´作如下运动：绕Z轴转动30º ；绕X轴转动60º ；绕Y轴转动90º 。求T。,38,练习2： O´与O初始重合，O´作如下运动：绕X轴转动90º；绕w轴转动90º；绕Y轴转动90º。求 T；改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。,解：,解：绕Z（w）轴转动90º；绕X轴转动90º；绕Y轴转动90º。,39,练习3：矢量 在O´中表示为 ，O´相对于O的齐次变换为：,解：1）,40,解：2）,解：3）,41,练习4：如图所示，1）写出 、 、 、 ；2）求,解：1）,42,解2）：根据定义2，绕自身旋转，右乘,43,习题1： O´与O初始重合，O´作如下运动：绕z轴转动90º；绕v轴转动90º；绕x轴转动90º。求 T；改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。,习题2：已知齐次变换矩阵 要求R（f,), 求f和值,习题3： 动坐标系0起始位置与固定参考坐标系0重合,动坐标系0做如下运动： Trans(4，-3, 7) R（y,90º） R(Z,90º) ，求合成矩阵,44,习题4： 动坐标系0上的点P(7,3,2)T,动坐标系0做如下运动： Trans(4，-3, 7) R（y,90º） R(Z,90º) ，求变换后该点相对于参考坐标系的坐标。,45,蔡自兴机器人学,46,1.,2.,47,3.,48,49,或,50,51,52,