带通采样定理

3.1.3 带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通 信号的上截止频率为Hf，下截止频率为Lf，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率Hf，可按照带通抽样定理确定抽样频率。定理定理 3-2 带通抽样定理：一个频带限制在),(HLff内的时间连续信号)(tx，信号带宽LHffB，令NBfMH/，这里N为不大于BfH/的最大正整数。如果抽样频率sf满足条件mffmfL sH2 12，10Nm （3.1-9）则可以由抽样序列无失真的重建原始信号)(tx。对信号)(tx以频率sf抽样后，得到的采样信号)(snTx的频谱是)(tx的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为sf，如图 3-3 所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(tx，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率） ，使得位于),(HLff和),(LHff的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。 由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(HLff的频带分量不会出现混叠的条件。在抽样信号的频谱中，在),(HLff频带的两边，有着两个延拓频谱分量： ),(sLsHmffmff和) 1(,) 1(sLsHfmffmf。为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足LsLfmff （3.1-10）HsHffmf) 1( （3.1-11）综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到mffmfL sH2 12（3.1-12）这里m是大于等于零的一个正数。如果m取零，则上述条件化为Hsff2 （3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。 m取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是m有一个上限，因为mffL s2，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即Bfs2。因此Bf Bf ffmLLsL222（3.1-14）由于N为不大于BfH/的最大正整数，因此不大于BfL/的最大正整数为1N，故有 10Nm 综上所述，要无失真的恢复原始信号)(tx，采样频率sf应满足mffmfL sH2 12，10Nm （3.1-15）f00f)( fX)( fXsLfHfHfLfLfHfHfLfsLmff sHfmf) 1(sLmff sHfmf) 1(sfsf图图 3-3 带通采样信号的频谱带通采样信号的频谱带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。 作为一个特例，我们考虑NBfH（1N）的情况，即上截止频率为带宽的整数倍。若按低通抽样定理，则要求抽样频率NBfs2，抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤 波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号。根据带通抽样，若将抽样频率取为 Bfs2（m值取为1N） ，抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远低于低通抽样定理NBfs2的要求。图 3-4 所示为BfH3，Bfs2时抽样信号的频谱。2B3B-3B-2Bf04B5B0-Bff0B-5B-4Bf0B-B)( fX)(sffX)(sffX)(fXs图图 3-4 BfH3，Bfs2时的抽样频谱时的抽样频谱在带通抽样定理中，由于10 M，带通抽样信号的抽样频率在B2到B4之间变化，如 图 3-5 所示。sfHf1/NM2/13/14/15/1B2B3B4B5B6BB2B3B5B0图图 3-5 带通抽样定理带通抽样定理由以上讨论可知，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。通常，当带通信号的带 宽B大于信号的最低频率Lf时，在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理， 而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理。模拟电话信号经限带后的频率范围为 300Hz3400Hz，在抽样时按低通抽样定理，抽样频率至少为 6800Hz。由于在实际实现时 滤波器均有一定宽度的过渡带，抽样前的限带滤波器不能对 3400Hz 以上频率分量完全予 以抑制，在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器，所以对语音信号的抽样频率取为 8kHz。这样，在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带，既防止频谱的混叠，又 放松了对低通滤波器的要求。这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中 是很常见的。