研究生数值分析(6)割线法

牛顿迭代法的收敛速度快，但是每一次迭代，除需计算 的值外，还要计算,的值。如果 比较复杂，计算,的工作量就可能很大，尤其当,7 割线法,很小时，会产生很大的舍入误差。为避免计算导数值，我们用插商来代替导数。,设经过 k 次迭代后，欲求 。,两点的差商,用 f (x) 在,来代替牛顿迭代公式中的导数 ，,得到如下迭代公式：,称为割线法，又称弦割法。,计算时可用,的接近程度控制迭代终止，,也可用,结束迭代，是允许误差。,公式的几何意义是：,引一直线，则该直线与 x 轴交点的横坐标为,因此迭代公式可看成割线,与x轴交点的横坐标作为 的新的近似值 ，,设已知方程,经过点 和,故迭代公式又称为弦割法。,不如牛顿法，且需提供两个较好的初始近似根 。,弦割法的优点是避免了求导数。不足是收敛速度,割线法收敛性见 p81-83。,（如图）,例8 用弦割法求方程,解：取初始近似根 ，割线公式为,在区间1，1.5内的一个根,误差不超过 。,计算结果列于下表,因为,所求近似根为,8 单点割线法,在割线法,中用固定点 (x0, f (x0)代替,就得到新的迭代公式,称为单点割线法。,单点割线法的收敛定理,定理9 设函数 f (x)在区间a，b上存在二阶连续导数，且满足条件：,则单点割线法产生的序列,单调收敛于方程F (x)=0在a,b内唯一的根s,并且收敛速度是一阶的。,证明见书 p84-85,例9 用单点割线法求方程,在区间(2，)内的根，要求,解：设,满足,所以，选,由单点割线法,产生的序列,必收敛于方程,在2，4内的根s。,迭代结果见下表,已满足精度要求，故方程的根为,练习：分别用双点弦割法和单点弦割法迭代5次,在 x=1.5附近的根，比较计算精度。,求解方程,