概率统计 第一章

概率论与试验统计,汪晓银 华中农业大学,自我介绍,汪晓银 教授 博士 硕士生导师 研究方向 数学建模 计量经济 电 话 15802727312 短号67212 Email wxywxq126.com 网站 www.shumo.cn,参考文献,1. 肖枝洪，朱倩军. 概率律论及实验统计学习指导与解题指南，高等教育出版社 2. 同济大学编. 概率论，同济大学出版社 3. www.shumo.cn,§1 随机事件的有关概念,0.预备知识 0.1 排列组合 例1.1 1.从0,1,2,9中抽出3个没有重复的三位数为多少？ 2.从0,1,2,9中抽出3个没有重复的三位偶数为多少？ 例1.2 从0，1，2，9能组成多少个8位数字的电话号码？,例1.3 用0，1，2，9这十个数字组成三位数，在这些三位数中(1)如考虑数字可以重复，问可以组成多少个不同的数(2)三个数字没有重复的有几个数(3)三个数字都相同的有几个数(4)只有两个数字相同的有几个数,§1 随机事件的有关概念,0.2 集合 0.2.1 集合的运算 包含 交集 并集 差集 补集 0.2.2 集合的性质,§1 随机事件的有关概念,11有关概念 1） 随机试验所谓随机试验就是指这样的试验它可以在相同条件下重复试验，试验的所有可能发生的结果是已知的，但每次试验到底是其中哪一个结果预先是不能确定的,§1 随机事件的有关概念,例1.4 将一枚硬币垂直上抛，到达最高点后，垂直下落在水平的桌面上，其结果可能是有币值的那一面(正面)朝上，也可能是有图案的那一面(反面)朝上。在硬币还没有落定之前，不能预知试验的结果。因此，上抛硬币是随机试验。,§1 随机事件的有关概念,例1.5 一口袋中合有编号分别为1，2，10的10个球，从口袋中任取一球，观察后立即将球放回袋中多次做这样的试验、各次取得的球的号数就不一定相同每次取得的号数是I，2，10中的一个数,§1 随机事件的有关概念,例1.6 在一个形状为旋转体的均匀陀螺的圆周上，均匀地刻上区间0，3)上的诸数字旋转这陀螺，当它停下时，把圆周与桌面接触处的刻度记下来。多次做这种试验，各次刻度就不一定相同。每次的刻度是区间0，3)上的一个数,§1 随机事件的有关概念,例1.7 多次用指定的测量工具测量某物体的长度，由于种种因素的干扰，各次所测得的数值就不一定相同,§1 随机事件的有关概念,例1.8 多次用步枪射击靶子上的点目标，由于各种因素的影响，各次枪弹击中的位置就不一定是同一个点每次击中的位置理解为包含靶子的平面上的一个点。,§1 随机事件的有关概念,例1.9 将一粒骰子用两手捂住，上下摇动后，丢掷在水平的桌面上，其结果可能是6种不同点数中的某一点数朝上。如果骰子还没有停止运动，试验的结果便不能事先知道。因此，丢掷骰子是随机试验,§1 随机事件的有关概念,2） 随机试验的基本空间在某一随机试验中可能出现的全部试验结果所组成的集合，称为这个随机试验的基本空间，记作,§1 随机事件的有关概念,3） 随机事件在随机试验中，可能出现、也可能不出现的某一件事情或称结果，称为随机事件，简称为事件。不同的事件可以用不同的大写英文字母来标记，例如A、B、C等等。,§1 随机事件的有关概念,4） 基本事件根据前面对样本空间所作的限定，如果某一事件只与基本空间的一个元素相对应，则称此事件为基本事件。不能再分的随机事件 5） 必然事件、不可能事件,§1 随机事件的有关概念,1.2 随机事件的运算 1.2.1 包含与相等 1.2.2 事件的并 1.2.3 事件的交 1.2.4 不相容事件与对立事件 1.2.5 两事件的差 1.2.6 运算性质,§1 随机事件的有关概念,例1.10 向指定的目标打三枪 Ai表示第i枪击中目标（i=1,2,3） 用Ai表示下列事件 （1）只击中一枪） （2）三枪都未击中 （3）三枪不都击中 （4）三枪至少击中一枪,§1 随机事件的有关概念,例1.11 用A、B、C表示下列事件 (1) A发生 B、C都不发生 (2) A， B、C不都发生 A=A（） (3) A发生 (4) AB发生 且C不发生 (5) 不多于2事件发生 (6) 不少于一个事件发生 (7) 三个事件至少有2个事件发生,§1 随机事件的有关概念,作业 习题1.1,3、4、6、9,§2 随机事件的概率,2.1 经验概率 例2.1 上抛硬币前人进行上抛一枚硬币的重复试验，结果如下：,2.2 古典概率 例2.2 抛投硬币 A正面朝上 例2.3 袋中有0，1，2，9个球，从中摸一个球，A“球的编号大于4” 例2.4 抛两枚硬币 求两枚都朝上的概率,§2 随机事件的概率,例2.5 袋中有5个白球，3个黑球每次从中取两个球，求取出的两个球是以白. 一黑的概率 例2.6 10把钥匙中有3把能开门，今任取2把，求能开门的 例2.7 两封信随机投入4个邮筒。(1)前两个邮筒内没有信的概率 (2)第一个邮筒只有一封信的概率,§2 随机事件的概率,§2 随机事件的概率,2.3几何概率 例2.8 在一个均匀陀螺酌圆周上均匀地刻上区间0，3)上的诸数字，旋转这陀螺，求桌子角位于刻度3/2，2之间的概率如半个圆刻上0，1，另半个圆刻上1，3则桌子角位于刻度3/2，2之间的概率又将如何？,§2 随机事件的概率,例2.9 在线段AB上，任取两点M、N，在M、N处折断成三条线段，求这三条线段能构成三角形的概率。,§2 随机事件的概率,例2.10 甲乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面，先到者应等候另一位，经过时间t (t<T)后即可离去。如果甲乙两人在时间T内的任一时刻到达预定地点都是等可能的，求两人能够会面的概率。,§2 随机事件的概率,2.4 概率的公理化定义若函数 P（A）的定义域是基本空间的全部子集所组成的集合，且P（A）满足：公理1）0 P（A）1；公理2）P （ ）=0， P（）=1；公理3）对于两两互斥的可数多个事件A1、 A2、An、 ，有P（A1+A2+An+ ）=P（A1）+ P（A2）+ P（An）+ ； 则称函数P（A）为事件A的概率。,§3 概率的计算公式,3.1 加法公式 推论 1）若A、B为两个事件，且A与B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)。例3.1 三等品的概率分别为0.2，0.4，0.4，一，二等品为合格品，合格产品的概率为多少？ 例3.2 袋内装有2个五分，3个2分，5个1分钱，从中任取5枚，求金额的总数超过1角钱的概率？,§3 概率的计算公式,推论 2）若A为任一事件，则P(A)=1- P( )。 例3.3 袋中有10个红球，5个白球，5个黑球，从中任取3个球，至少有2个球的颜色的一样的概率 例3.4 寝室7人，至少有2个人在同一天过生日的概率（365天）,§3 概率的计算公式,推论 3）若A、B为两个事件，且AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)。 推论4）若A、B为任意两个事件，则P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)。 例3.6 甲乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为1/3和1/2，试计算：目标被击中的概率;如果已知目标被击中，求它被甲击中的概率。,作业 习题1.24，6，8，10,§3 概率的计算公式,3.2 条件概率与乘法公式例3.5 某一工厂有200个职工，男女各半，男职工中熟练工为40人，女职工中熟练工为60人。从中任取一人 1）如果选出的人是熟练工的2) 如果选出的是女职工，此人是熟练工的概率,§3 概率的计算公式,定义：如果在A已经发生的前提下， B的概率称为B在A发生下的条件概率。乘法公式P(AB)=P(B) P(A/B) =P(A)P(B/A) 其公式还可以推广,§3 概率的计算公式,例3.7 有5个人抽考签，五个考签中有一个是难题，每五个按固定顺序抽取考签，求每一个人抽到难签的概率3.3全概率公式 3.4 贝叶斯公式 例3.8 乒乓球比赛共6球，4新2旧，每次比赛拿2个球，求第二次比赛所拿的两个球都是新球的概率？,§3 概率的计算公式,例3.9 某工厂有甲乙丙三车间生产某种产品，产量分别为全长的40%，30%，30%，甲乙丙三车间的次品率分别为5%，3%，2%。(1) 从中任取一件产品，此产品是次品的概率(2) 如果已知抽出的产品为次品，问此次品来源于B车间的概率。,§3 概率的计算公式,例3.10 已知甲袋中有4个红球2个白球，乙袋中有3个红球3个白球，从甲袋中任取2个球不看颜色放入乙袋中，然后再从乙袋中任取一个球，求：(1) 从乙袋中取得红球的概率；(2) 已知从乙袋中取得红球，此红球来自甲袋的概率。作业 习题1.3 4，7，10，12,§3 概率的计算公式,思考题1发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“.”和“-”，由于通讯系统受到干扰，当信号发出“.”时，收报台未必收到“.”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“.”和“-”；同样，当发出信号“-”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“-”和“.”.求(1)收报台收到信号“.”的概率；(2)当收报台收到信号“.”时，发报台确实发出信号“.”的概率。,§3 概率的计算公式,思考题2猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击这时距离变为200米，假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。0.832,§4 事件的相互独立性,4.1 两个事件相互独立当P(A)>0时，若P(B | A)=P(B)，则称B不依赖于A，也称A和B相互独立当P(B)>0时，若P(A | B)=P(A)，则称A不依赖于B，也称A和B相互独立结论1 A与B相互独立 P(AB)=P(A)P(B),§4 事件的相互独立性,结论2 A与B相互独立与B相互独立；A与B相互独立A与相互独立；A与B相互独立与相互独立,§4 事件的相互独立性,例4.1 美国向大使馆发射五枚导弹的命中概率为0.9 ，求大使馆被的概率,§4 事件的相互独立性,4.2 多个事件相互独立 例4.2 袋中有四个乒乓球，其中的一球涂白颜色，另一球涂黄颜色，第三个球涂红颜色，第四个球涂白、黄、红三种颜色，若任取一球并察看球面上的颜色，事件A=涂有白颜色 ，B=涂有黄颜色，C=涂有红颜色,§4 事件的相互独立性,4.3二项概率公式 例4.3 若某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂生产了n台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)， 求:1>全部能出厂的概率;2>其中恰有两台不能出厂的概率;3>其中至少有两台不能出厂的概率,§4 事件的相互独立性,例4.4 某2班进行足 排 篮比赛，3项中胜2项为赢 甲胜已篮0.4，甲胜已排0.4，甲胜已员0.6 求甲胜已班的概率 4.4 Poisson公式作业 1.45，11，13，16,§4 事件的相互独立性,思考题1甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2，如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6，如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。,§4 事件的相互独立性,思考题2 某商店有四个营业员，每人每小时用台秤的时间为15分钟，问这家商店应该配备几台秤为最好,