角平分线性质及其判定的巧妙结合

角平分线性质及其判定的巧妙结合宁晋县东城实验学校 张青丽 邮编：055550如果能把角平分线的性质(角平分线上的点到角的两边的距离相等)及其判定（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）巧妙结合，往往能起到事半功倍的作用，使问题迎刃而解。下面举例说明：例题例题 ：如图，：如图，ABC 的角平分线的角平分线 BM、CN 相交于点相交于点 P。求证：点求证：点 P 也在也在A 的平分线上。的平分线上。证明：过点证明：过点 P 作作 PDAB 于于 D，PEBC 于于 E，PFAC 于于 FBM 平分ABC，PDAB 于于 D，PEBC 于于 EPD=PE同理 PF=PEPD=PFPEBC 于于 E，PFAC 于于 F点点 P 也在也在A 的平分线上。的平分线上。由例题可知：（1）一个三角形的三条角平分线必交于一点；（2）三角形角平分线的交点到三边的距离相等；（3）三角形的内部到三边的距离相等的点在内角的角平分AABCPED F线的交点处。【变式训练】：下图中，点 A、B、C 分别表示三个村庄，每两个村庄都有公路相连，现要在三角形的内部建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等。分析：到ABC 三边的距离相等的点在三条角平分线的交点处，由于两条直线相交确定一点，所以只需要作出两个内角的 角平分线交于一点 P 即可。【牛刀小试】：如图所示，三条公路两两相交，现要选择一地址建造加油站，要求它到三条公路的距离相等，问这样的点是否存在，你能找到几处这样的点？【温馨提示】由于题目没有强调一定要把加油站建在三角形的内部,故除了建在内角角平分线的交点处外，还可以建在三角形的外部,即FAC 的角平分线和ACE 的角平分线的交点处、HBA 的角平分线和BAG 的角平分线交点处、KBC 的角平分线和DCB 的角平分线的交点处,共有 4 个这样的点。CBPD FAABCDEKHG F