山东大学高等数学教学课件(ppt版)重积分__重积分应用

第四节 重积分的应用,第四节 重积分的应用,一.几何应用,解法一:将立体看作曲顶柱体,利用二重积分计算.,两种解法,1.立体体积,解法二:利用三重积分性质计算.,例1 计算由 和 围成的立体体积.,由对称性,只要求出第一卦限部分的体积,再乘以8倍即可.,看作曲顶柱体,例2 计算由 和三个坐标面围成的四面体体积.,曲顶,2.曲面面积,D为 S 在 xoy 面上的投影区域.,在D上有连续偏导数,设曲面S :,微元法:,在D上任取小区域 ,相应的得到S上小曲面dS.,用切平面 近似代替,面积微元,同理,若曲面 S 的方程为 x = x( y,z ) 或 y = y( z,x ),可分别把 S 投影到 yoz 面或 zox 面上,得面积公式:,或,S 在 yoz 面上投影区域,S 在 zox 面上投影区域,例3 计算例1中立体的表面积.,由对称性,只要求出第一卦限阴影部分的面积,再乘以16倍.,曲面方程,二.物理应用,1.物体重心,(1).平面薄板:,设薄板占有平面区域D,面密度 在D上连续.,在D上任取小区域 及其上面任意一点(x , y),的质量,对 x 轴 y 轴的静力矩分别为:,于是平面薄板的重心为:,(2).空间物体:,物体占有空间区域 ,密度 在 上连续.,则物体的重心为:,例4.半径为1的半圆形薄板,各点处的密度等于该点到圆心的距离,求此半圆的重心.,由对称性:,于是重心:,2.转动惯量,(1).平面薄板:,设薄板占有平面区域D,面密度 在D上连续.,由静力学及微元法,薄板对x 轴, y 轴以及原点的转动惯量分别为:,(2).空间物体:,同理,物体对坐标轴,坐标面以及原点的转动惯量分别为:,例5.求均匀球体绕其直径的转动惯量.,设半径为R,密度为 ,球心在原点,则绕 z 轴的转动惯量为:,为均匀球体的质量,