理论力学 哈密顿理论在物理学中的应用

第八章 哈密顿理论在物理学中的应用,§8.1 连续体系的拉格朗日方程,§8.2 电磁场的拉格朗日方程,§8.3 薛定谔波动力学方程的建立,采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。氢原子哈密顿函数为,§8.4 刘维尔定理,相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变。 证明：统计系综的一个“样本”：力学体系有N个相同的粒子，每个粒子的坐标和动量为q、p 。 统计系综是由与这个力学体系的组成完全相同，但初始条件不同的许多个“样本”组成。 单个粒子相空间( 6 维空间)：3个坐标分量q， 3个动量分量p。 N个粒子构成 空间( 6 维空间).t 时刻，每个“样本”的q、p 确定，因此 空间中的每一个点表示一个“样本”在某一时刻的状态，这样的点称为“代表点”。因此统计系综就是 空间中的一群代表点。,这群代表点在 空间中的分布一般是不均匀的，因此可引入代表点密度的概念。,这是因为代表点的相轨迹是不会相交的。若相交，则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同的运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。,设在d 1 内，代表点的数目为dN1，则 = dN1 /d1 就代表点在d1 区域中的密度。经过时间 t 后，原来在d 1中的代表点运动到 空间的d 2的位置，如图所示，这两个体积元代表点的数目是相同的，即dN1 = dN2 。,刘维尔定理：相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变，即 =dN1/d1=dN2/d2=常数。,因为dN1=dN2 ，所以要证明上式，只要证明d1 = d2。分两步证明： 1、证明一个粒子的一对正则变量q、p 从t 到 t+dt 的变化可看成是一种正则变换。 证：只要找到一个适当的母函数，使变换后的新正则变量Q、P 为 Q= q+ dq ， P= p+ dp ， =1,2, ,N (1) 若取第二类正则变换母函数 F2 (q, P) = qP (2) 则:,这是全同正则变换。,Q= q+ dq ， P= p+ dp ， =1,2, ,N (1) F2 (q, P) = qP (2),比较(1)和(2)式,两者只相差无穷小量 dq和dp,因此认为要得(1)式，可在(2)式的母函数中再加上一个无穷小量，即可取F2 (q, P) = qP + G(q, P, t) (4) 为无穷小量， G 为任意函数。忽略二阶小量， (4)式近似为：F2 (q, P) qP + G(q, p, t) (5) (5)式正则变换称为无穷小正则变换。,F2 (q, P) qP + G(q, p, t) (5),令 = dt， G(q, p, t) = H(q, p, t) ，代入(5)式，得 F2 (q, P) qP + H(q, p, t)dt (6) 利用此母函数即得：,上式即为(1)式，即证明了相空间体积从d1变换为d2是一种正则变换.,2、证明相空间体积在正则变换下保持不变，即 P =dq1dq3N dp1dp3N = dQ1dQ3N dP1 dP3N,当积分自变量从q、p 变到 Q、P 时，体积元的变换为： dQ1 dQs dP1 dPs = Ddq1 dqs dp1 dps (7) 式中D为雅可比行列式：,只要证明: D = 1,在证得了s = 1 时，D = 1，再利用雅可比行列式的一些性质，就可证明当 s = 3N 时也成立。由于运算比较繁琐，这里从略。 综合以上所得，刘维定理成立。,代表点密度为 = (q、p、t)，其运动方程为,§8.5 经典微扰理论,1、微扰论的基本思想：非线性方程中的线性部分是严格可解，而非线性部分相对线性部分来说只是一个小的扰动。,