初等变换及其应用

第三节 初等变换及其应用,一 矩阵的初等变换 定义 初等行变换 （1） 互换任意两行的位置： （2） 用非零数乘某行： （3） 用一个常数乘矩阵的某一行，再 加到另一行上去：,类似可定义初等列变换 （1） （2） （3） 初等行变换与初等列变换统称为初等变换。,例1 对矩阵 的行作初等变换，使之成为单位阵,二 用初等变换求逆矩阵 方法：,例2 用初等变换求矩阵的逆矩阵,用初等变换求逆矩阵时，不必先考虑逆矩阵是否存在，只要注意在初等变换过程中，如果发现直线左边某一行的元素都是零，则逆矩阵就不存在。,例3 用逆矩阵法求方程组的解：,注： 用逆矩阵法可解更为一般的矩阵方程。如由A X B=C得 （只要右端有意义）. 例4 解矩阵方程 AXB=C 。其中,三 用初等变换求矩阵的秩 定义 如果一个矩阵，从第二行起每个非零行的第一个非零元素出现在上一行第一个非零元素的右边，同时，没有一个非零行出现在零行之下，则称该矩阵为阶梯形矩阵。,例如和都是阶梯形矩阵,例5 利用初等变换将下列矩阵化为阶梯形矩阵：,定义 如果矩阵A经过初等变换化为阶梯行矩阵B,且B的非零行的行数为r,则称A的秩为r,记作 R(A)=r. 显然，上例5中，R(A)=3. 例6 求矩阵的秩。,例7 求矩阵的秩。,四 用初等变换解线性方程组高斯消元法 定义 线性方程组（1）如果有解，我们称方程组（1）是相容的；如果（1）无解，则称方程组（1）是不相容的。,定义 由线性方程组（1）的系数构成的矩阵，即叫做线性方程组（1）的系数矩阵。,由线性方程组（1）的系数和常数项构成的矩阵，即叫做线性方程组（1）的增广矩阵,例8 用消元法解线性方程组,有时根据需要，可对线性方程组先进行加减消元，然后进行代入消元。如例8中，可先用 加减消元法（初等行变换）将 化为阶梯形矩阵 ，此时，得到与原方程组同解的方程组,然后用代入消元法，由最后一个方程开始向上逐个回代，即可得到方程组的解,高斯消元法的定义： （1）对线性方程组的增广矩阵 施行初等行变换，使之成为阶梯形矩阵，且使对应的系数矩阵变成单位阵（如有可能的话），以求得线性方程组的解； （2）对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换，使之成为阶梯形矩阵，然后用代入消元法解相应的同解方程组。 以上两种方法统称为高斯消元法。,例9 用高斯消元法解线性方程组,一般地，线性方程组中未知数的个数与方程的个数不一定相等。对于方程的个数与未知数的个数不相等的方程组，高斯消元法也同样适用。,定义 如果方程组（2）的常数项 不全为零，则方程组 （2）称为非齐次线性方程组,若 全为零，即（3）则称方程组（3）为齐次线性方程组,例10 讨论线性方程组的解。,几个概念： 零解 非零解 基础解系 通解 （对照例10解释）,结论： 对于齐次线性方程组而言， （1）它必有解（例如零解）； （2）当R(A)等于未知数的个数n时，它仅有零解； （3）当R(A)小于未知数的个数n时，它有无穷多组解，且必存在基础解系。,例11 讨论方程组的解。,结论： 当非齐次线性方程组有解时，必有非齐通=非齐特+齐通,例12 求解方程组：,结论：对于非齐次线性方程组而言， （1）它有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩； （2）当 时，它无解； （3）当 未知数的个数n时，它有唯一解； （4）当 时，它有无穷多组解，且 非齐通 = 非齐特 + 齐通。,布置作业：,P125: 1. 2(2). 3(2). 4(1). 5,