通信原理通信课后答案02
通信原理习题第二章3第二章习题习题 2.1 设随机过程X(t)可以表示成：( )2cos(2), X ttt 式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(=/2)=0.5试求EX(t)和。XR (0,1)解：EX(t)=P(=0)2+P(=/2)cos(2) t2cos(2)=cos(2)sin22tttcos t习题 2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：( )2cos(2), X ttt 判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。/2 /2/2 /21( )lim( )()1lim2cos(2)*2cos 2 ()T XTTT TTRX t X tdtTttdtT222cos(2)jtjtee2222()( )()(1)(1)jfjtjtjf XP fRedeeedff 习题 2.3 设有一信号可表示为：4exp() ,t0( )0, t<0tX t试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：(1) 004( )( )441j ttj tjtXx t edte edtedtj 则能量谱密度 G(f)= 2( )X f222416 114jf习题 2.4 X(t)=，它是一个随机过程，其中和是相互统计独立的高12cos2sin2xtxt1x2x斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为。试求：2(1)EX(t)，E；(2)X(t) 的概率分布密度；(3) 2( )Xt12( , )XRt t解：(1) 02sin2cos2sin2cos2121xEtxEttxtxEtXE因为相互独立，所以。( )XPf21xx 和 2121xExExxE又因为，所以。 021xExE 122 12xExE 22 22 1xExE故 222222sin2costttXE(2)因为服从高斯分布，的线性组合，所以也服从高斯分布，其概率21xx 和21xxtX和是tX分布函数。 222exp21 zxp(3) 2221121121212sin2cos)2sin2cos(,txtxtxtxEtXtXEttRX212122sin2sin2cos2costttt1222costt 习题 2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(1)； (2)； (3) ff2cos2afa2expfa 解：根据功率谱密度P(f)的性质：P(f)，非负性；P(-f)=P(f) ，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功0率谱密度的条件，(2)不满足。习题 2.6 试求X(t)=A的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。cos t通信原理习题第二章4解：R(t，t+)=EX(t)X(t+) =cos*cos()E AtAt2 21coscos(2)cos( )22AA EtR功率P=R(0)= 22A习题 2.7 设和是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为tX1tX2。试求其乘积X(t)=的自相关函数。 21XXRR和12( )( )X t Xt解：(t,t+)=EX(t)X(t+)=ER1212( )( )()()X t Xt X tXt= 1122( )()( )()E X t X tE Xt Xt 12( )( )XXRR习题 2.8 设随机过程X(t)=m(t)，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为cos t4210, 10 kHZ10 kHZ( )0,XffPf 其它(1)试画出自相关函数的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度和功率P。( )XR( )XPf解：(1) 1, 101010,xR 其它其波形如图 2-1 所示。图 2-1 信号波形图(2)因为广义平稳，所以其功率谱密度。由图 2-8 可见，的波形)(tX XXRP XR可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此 2Sa2Sa4112Sa21 2102022 00xP 210,21d21xxRSPP或习题 2.9 设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。试求此信号的自相关函数。sinf f ()解：x(t)的能量谱密度为G(f)=2( )X f2sinf f 其自相关函数 21, 10 ( )1010,jf XRG f edf 其它习题 2.10 已知噪声的自相关函数，k 为常数。tn k-e2kRn(1)试求其功率谱密度函数和功率P；(2)画出和的曲线。 fPn nR fPn21 xR101通信原理习题第二章5解：(1)222( )( )2(2)kjj nnkkPfRedeedkf 20kRPn(2)和的曲线如图 2-2 所示。( )nR fPn图 2-2习题 2.11 已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：( )1, 11R 试求X(t)的功率谱密度并画出其曲线。( )XPf解：详见例 2-12习题 2.12 已知一信号 x(t)的双边功率谱密度为4210, 10 kHZ10 kHZ( )0,XffPf 其它试求其平均功率。解： 343 10*10424108 002( )2102*10*1033XfPPf dff df 习题 2.13 设输入信号 ，将它加到由电阻 R 和电容 C 组成的高通滤波器（见/,0( )0,0tetx tt图 2-3）上，RC 。试求其输出信号 y(t)的能量谱密度。解：高通滤波器的系统函数为 H(f)=( )2cos(2), X ttt 输入信号的傅里叶变换为X(f)=1 1122jfjf 输出信号 y(t)的能量谱密度为22()()()()11()(1)22yRGfY fXf H f RjfCjf 习题 2.14 设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为 y(t)=式中，为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f).( )/dx tdt解：输出信号的傅里叶变换为 Y(f)=,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j* 2*( )jfX f2f 习题 2.15 设有一个 RC 低通滤波器如图 2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为的白噪0 2n声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。解：参考例 2-10习题 2.16 设有一个 LC 低通滤波器如图 2-4 所示。若输入信号是一个均值为 0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时，试求0 2n(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为 H(f)= 222 12 21422jfC f LCjfLjfC 输出过程的功率谱密度为20 021( )( )( )2 1inPPHLC nR2k0 fPn10fCR图 2-3RC 高通滤波 器LC图 2-4LC 低通滤波器通信原理习题第二章6对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为 00( )exp()4CnCRLL(2)输出亦是高斯过程，因此20 000(0)( )(0)4CnRRRL 习题 2.17 若通过图 2-7 中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为 的白0 2n噪声时，试求输出噪声的概率密度。解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由 2.15 题可知 E(y(t)=0 , 20 0(0)4ynRRC所以输出噪声的概率密度函数20012( )exp()2yx RCpxnn RC习题 2.18 设随机过程可表示成，式中是一个离散随变量，且( ) t( )2cos(2)tt，试求及。(0)1/2(/2)1/2pp、 (1)E(0,1)R解： (1)1/2*2cos(20) 1/2*2cos(2/2)1;E(0,1) (0) (1)1/2*2cos(0)2cos(20) 1/2*cos(/2)2cos(2/2)2RE习题 2.19 设是一随机过程，若和是彼此独立且具有均1020( )cossinZ tXw tXw t1X2X值为 0、方差为的正态随机变量，试求：2（1）、； ( )E Z t2( )E Zt（2）的一维分布密度函数；( )Z t( )f z（3）和。12( , )B t t12( , )R t t解：（1）10200102 ( )cossincossin0E Z tE Xw tXw tw tE Xw tE X因为和是彼此独立的正态随机变量，和是彼此互不相关，所以1X2X1X2X120E X X222222222 10200102( )cossincossinE ZtE Xw tXw tw tE Xw tE X又; 10E X222 112()D XE XE X22 1E X同理22 2E X代入可得 22( )E Zt（2）由=0； 又因为是高斯分布 ( )E Z t22( )E Zt( )Z t可得 2 ( )D Z t221 ( )exp()22zf Z t(3) 12121212( , )( , ) ( ) ( )( , )B t tR t tE Z tE Z tR t t10 120 110 220 2(cossin)(cossin)E Xw tXw tXw tXw t22 10 10 220 10 222 0120(coscossinsin)cos()cosE Xw tw tXw tw tw ttw令 12tt习题 2.20 求乘积的自相关函数。已知与是统计独立的平稳随机过程，( )( ) ( )Z tX t Y t( )X t( )Y t且它们的自相关函数分别为、。 ( )xR( )yR通信原理习题第二章7解：因与是统计独立，故 ( )X t( )Y t E XYE X E Y( ) ( ) ()( ) ( )() ()( )() ( ) ()(
