最新中国矿业大学 概率论与数理统计第二章课件

第二章,随机变量及其分布,一、随机变量,二、离散型随机变量及其分布,三、随机变量的分布函数,四、连续型随机变量及其分布,五、随机变量的函数的分布,第一节,为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规,第二章,实数对应起来，将随机试验结果数量化。,随机变量,律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与,定义1.设随机试验的样本空间,在样本,上的实值单值函数，,称,是定义,为随机变量。,例1.对一均匀硬币抛一次，观察正反面情况。,设,为随机变量。,其中,表示事件A：结果,样本空间,出现正面，,即,同理,其中,表示事件,一、随机变量的定义,结果出现反面,即,例2.测量某工厂一天生产灯泡的寿命。,样本空间,设,，其中,，则 X 为随机变量。,寿命,表示一事件A，,例如,例3.某战士射击命中率为,设首次击中目标所需射击,次数为,则随机变量,随机变量定义在样本空间 S 上,定义域可以是数也可,以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。,2. 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定,的概率；而普通函数却没有。,三、随机变量的分类,随机变量,非离散型随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,其它,二、随机变量函数和普通函数的区别,1. 定义域不同,离散型随机变量及其分布,第二章,一、离散型随机变量的定义,二、常用的离散型随机变量,第二节,定义1.若某个随机变量,的全部可能取值是有限个或,无限可列多个，则称这个随机变量是离散型随机变量。,定义2.设离散型随机变量,的所有可能取值为,其中,取各个可能值的概率，即事件,的概率,一、离散型随机变量的定义,满足：,称,为离散型随机变量,的概率分布或分布律。,分布律也可用如下表格的形式表示,分布律的 判断条件,例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号,灯，每盏信号灯以概率,允许或禁止汽车通过,表示汽车首次停下通过的信号灯盏数(设各信号灯的工,作是相互独立的）,求,的分布律。,解,由题意可知,的分布律为,，则,显然，,的分布律满足,；,例2.设一均匀的硬币抛三次为一次试验，,为正面,出现的次数，求随机变量,的分布律。,将,带入可得,的分布律为,解,的所有可能取值为,其分布律为,例3.一骰子掷两次,用,表示所得点数之和,求,可能值的概率。,取各,解,S=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT,则,. (01)分布,定义1.如果随机变量,的分布律为,则称,服从参数为,的(01)分布。,即,或,二、常用的离散型随机变量及其分布,（01）分布的分布律也可写成,注 服从（01）分布的随机变量很多，如果涉及的试,验只有两个互斥的结果：,，都可在样本空间上定义,一个服从（01）分布的随机变量：,下面我们将介绍一个重要的离散型随机变量的,分布-二项分布,1.伯努利概型（概率论中最早研究的模型之一，也是,研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由,它推导）,n重独立试验,在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各,结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。,伯努利概型,设随机试验E只有,两种可能结果，且,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验,为n重伯努利试验，或称n重伯努利概型。,.二项分布,引例：某人打靶单发命中率为,现独立重复射,击3次，求恰好命中2发的概率。,解,表示“第i次命中”,表示“恰好命中两次”,定理（伯努利定理）P24,n重伯努利试验中,“事件,恰好发生k次”,即,的概率为：,例1,某人射击每次命中的概率为 0.7,现独立射击 5,次，求正好命中 2 次的概率。,解,例2,从学校乘汽车去火车站一路上有 4 个交通岗，,到各个岗遇到红灯是相互独立的，,且概率均为0.3, 求,某人从学校到火车站途中2次遇到红灯的概率。,解 途中遇到 4次经交通岗为4重贝努利试验，其中,例3.,袋中装有30只红球, 70只蓝球,现从袋中有放,回地抽取5 次, 每次取1 只球, 试求:,1) 取出的5只球中恰有 2 只红球的概率;,2) 取出的5只球中至少有 2 只红球的概率；,解:,取到红球的概率为0.3 ,5 次取球相互独立,故为5 重伯努里概型,设 X 为取到红球的次数,1),2),在规划一条河流的洪水控制系统时需要研究出现,特大洪水的可能性。,假定该处每年出现特大洪水的概率,都是 0.1 ，,且特大洪水的出现是相互独立的，,求在今后,10年内至少出现两次特大洪水的概率。,解 设 A “出现洪水”,“不出现洪水”,例4,定义2.如果随机变量,的分布律为,则称,服从参数为,的二项分,其中,布，记为,容易验证,由二项式定理,特别,当,时,二项分布为,这就是（01）分布，常记为,2. 二项分布,3. 二项分布的分布形态,若,，则,由此可知，二项分布的分布律(右图),先是随着,到其最大值后再随着,的增大而减小.,这个使得,达到其最大值的,称为该二项分布的最可能次数。,的增大而增大，达,可以证明：,例4 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地,取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品,的概率.,表示所取的3个中的次品数，,，于是所求概率为,则,解：设,注： 若将本例中的“有放回”改为“无放回”，那么各,次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时只能用,古典概型求解.,古典概型与伯努利概型不同，有何区别？,请思考：,伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，,（1）每次试验条件相同；,（2）每次试验只考虑两个互逆结果,且,（3）各次试验相互独立.,但有下述要求：,例5 一大批产品中一级品率为0.2，现随机抽查20,只，问20只元件中恰好有,为一级,品的概率为多少？,解,设,表示20只元件中为一级品的只数，,这个试验可以看作伯努利试验。,例6 某人射击命中率为0.02，独立射击400次，试,求至少击中2次的概率？,解 设,表示击中的次数，则,所以分布律,则所求概率,本例题的实际意义：,不可忽视小概率事件;, 反过来看，如果一个人射击400次，击中竟不到,两次，由于,很小，故怀疑“命中率,0.02”是否为真，即他的命中率不到0.02。,例7 80台同类型设备，各台工作相互独立，发生故,障的概率,，有两种配备维修工人的方法：,4个人每人负责20台；3个人共同负责80台。,问那种方案好?(比较发生故障而不能及时维修的概率),解 设,表示“第一个人维护的20台中同时发生故障,的台数”，,表示“第i个人维护的20台中发生故障而不,能及时维修”，,由题意可得, 第一个人维护的20台中发生故障而不能及时维,修的概率为,4个人维护的80台中发生故障而不能及时维修的概率, 设,表示“80台同时发生故障的台数”,则3人维护的80台中发生故障而不能及时维修的概率,总之,即第种方案的工作效率高。,定理1（泊松Poisson定理) 设,是一常数，n是,正整数，若,，则对任一固定的非负整数,证明 由,得,对于任意固定的,故有,注：二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当,时，即为（01）分布；当,时，,二项分布近似于下面介绍的泊松分布。,定义1. 设随机变量,所有可能取的值为0,1,2,而,且概率分布为：,. 泊松分布,其中,，则称,服从参数为,的泊松分布，记,注：,马克劳林级数,所以,满足随机变量概率定义的条件。,泊松分布的图形特点：,当 n 很大，p 很小时，,泊松定理表明：,泊松分布是二项分布的极限分布，,参数 = n p 的泊松分布,二项分布就可近似看成是,例1 一交通路口一段时间内汽车发生交通事故的次数,服从参数为,的泊松分布，求至少发生两次,事故的概率。,解,随机变量,则,解 由已知得：,所以分布律为,解 设选出n个人，n人中色盲患者为,则,两边取对数,所以得,随机变量的分布函数,第二章,一、分布函数的概念,二、分布函数的性质,第三节,为X 的分布函数。记作,设 X 是一个随机变量，,定义1,是任意实数，称函数,的值就表示X 落在区间,上的概率.,分布函数,一、分布函数的概念,由定义，对任意实数,上的概率,，用F(x)刻画随机点落在,功能式,区间,由于,得,解 (1), 当,时，, 当,时，,则, 当,时，,则, 当,时，,为必然事件，,则,所以,(2),一般地，设离散型随机变量,的分布律为,由概率的可列可加性得,的分布函数为,请看41页,作业5,33页 1 5,二、分布函数的性质, 单调不减性：, 右连续性：对任意实数 x, 归一 性：,，则,具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分,布函数。,故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,解,所以,例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为,求 X 的分布律。,解 X 的可能取值为 3，4，5。,所以 X 的分布律为,例4 已知 X 表示弹着点与靶心的距离，, 击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘面积,成正比； 靶子半径是 2 米； 每次射击都中靶。,求 X 的分布函数 F(X) 。,解,因为,当,时，,不可能发生，,当,时，,由,当,时，,总之 X 的分布函数为,其图形为一连续曲线,对任意实数 x 有,显然,作业5*,42页 1 3,