广东省廉江市实验学校2018届高三（人教a版）数学（理）一轮复习课件：第四讲一数学归纳法
第四讲 数学归纳法证明不等式,一 数学归纳法,学习目标 1.理解并掌握数学归纳法的概念，运用数学归纳法证明等式问题； 2学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除性等问题,课堂互动讲练,知能优化训练,一 数学归纳法,课前自主学案,学习目标,课前自主学案,1数学归纳法适用于证明一个与_有关的命题 2数学归纳法的步骤是： (1)(归纳奠基)_ _； (2)(归纳递推)假设当nk(kN，且kn0)时命题成立，_ (3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切nn0的自然数都成立,无限多个正整数,推导nk1时命题也成立,思考感悟 在数学归纳法中的n0是什么样的数？ 提示：n0是适合命题的正整数中的最小值，有时是n01或n02，有时n0值也比较大，不一定是从1开始取值,课堂互动讲练,【名师点评】 运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系,变式训练1 求证：(n1)(n2)(nn)2n·1·3·5··(2n1)(nN) 证明：(1)当n1时，等式左边2， 等式右边2×12， 等式成立 (2)假设nk(kN)等式成立， 即(k1)(k2)(kk) 2k·1·3·5·(2k1)成立,那么nk1时， (k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)2k1·1·3·5··(2k1)·2(k1)1 即nk1时等式也成立 由(1)(2)可知对任何nN等式均成立,平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成了f(n)n2n2部分 【思路点拨】 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当nk1时比nk时分点增加了多少，区域增加了几块，本题中第k1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就得到了解决,【证明】 (1)当n1时，一个圆把平面分成两部分，且f(1)1122，因此，n1时命题成立 (2)假设nk(k1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2部分如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分，即有,f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2. 即当nk1时，f(n)n2n2也成立 根据(1)、(2)，可知n个圆把平面分成了f(n)n2n2部分 【名师点评】 有关诸如此类问题的论证，关键在于分析清楚nk与nk1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k1)之间的递推关系,则当nk1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交,有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了k1个平面部分,用数学归纳法证明(x1)n1(x2)2n1(nN)能被x23x3整除 【思路点拨】 证明多项式的整除问题，关键是在(x1)n1(x2)2n1中凑出x23x3.,【证明】 (1)当n1时， (x1)11(x2)2×11x23x3能被x23x3整除，命题成立 (2)假设当nk(k1)时，(x1)k1(x2)2k1能被x23x3整除，那么 (x1)(k1)1(x2)2(k1)1 (x1)(x1)k1(x2)2·(x2)2k1 (x1)(x1)k1(x1)(x2)2k1(x1)·(x2)2k1(x2)2(x2)2k1,(x1)(x1)k1(x2)2k1(x23x3)·(x2)2k1. 因为(x1)k1(x2)2k1和x23x3都能被x23x3整除，所以上面的式子也能被x23x3整除 这就是说，当nk1时， (x1)(k1)1(x2)2(k1)1也能被x23x3整除 根据(1)(2)可知，命题对任何nN都成立,【名师点评】 用数学归纳法证明数或式的整除性问题时，常采取加项、减项的配凑法，而配凑的方法很多，关键是凑成nk时假设的形式,变式训练3 求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除(nN) 证明：(1)当n1时，a11(a1)2×11a2a1，命题显然成立 (2)假设当nk(k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除， 则当nk1时， ak2(a1)2k1,a·ak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1， 由归纳假设，以上两项均能被a2a1整除，故当nk1时，命题也成立 由(1)、(2)可知，对nN命题都成立,1数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证n的初始值至关重要，它是递推的基础，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范围内的最小值 2第二步证明的关键是运用归纳假设在使用归纳假设时，应分析p(k)与p(k1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发,从p(k1)中分离出p(k)再进行局部调整 3在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明，其一般解题步骤是：归纳猜想证明,
