第三章 一元一次方程--一元一次方程

教学目标：教学目标：1知识与技能叙述方程及一元一次方程的概念；掌握等式的性质、合并同类项法则、去括号法则及其应用。利用等式的性质、合并、去括号法则解一元一次方程；用一元一次方程解决实际问题，提高分析问题、解决问题的能力。2过程与方法经历“把实际问题抽象成数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的 数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步；能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方 程表示问题中的等量关系” 。3情感、态度与价值观通过学习本章知识，建立数学建模的思想；认识到数学与实际生活的密切联系。教学重点：教学重点：一元一次方程的解法和列一元一次方程解应用题。教学难点：教学难点：根据具体问题中的数量关系列一元一次方程。教学方法：教学方法：引导式。教学安排：教学安排：2 课时。教具准备：教具准备：投影仪。第一课时第一课时教学过程：教学过程：一、知识回顾主要的概念：1方程的概念含有未知数的等式叫方程。2一元一次方程的概念只含有一个未知数的指数是 1，这样的方程叫做一元一次方程。3方程的解使方程中等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解。4解方程求方程的解的过程叫做解方程。主要性质1等式的性质等式的性质 1：等式两边（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等。等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。2合并同类项法则同类项相加（减） ，把它们的系数相加（减）作为结果的系数，字母部分不变。3去括号法则（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。二、例题讲解例 1 判断下列各式哪些是方程？哪些是等式？（1）32=1 （2） 3x+y=2y+x （3）2x-4=0 （4）x2+2x+1。分析：只要用等号连接的式子就是等式，其中含有未知数的是方程。解：（1）是等式；（2）、 （3）是方程；（4）既不是方程也不是等式。例 2 用适当的形式填空，使所得的结果仍是等式；并说明是根据等式的哪条性质以及 怎么变形的？（1）若 x+3=4，则 x=4+_;（2）若2x=6，则 x=_;解：（1）3；根据等式性质 1，等式两边同时加上（-3）或等式两边同时减去 3，所 得结果仍是等式。（2）-3；根据等式性质 2，等式两边同时乘以-1 2或等式两边同时除以-2，所得结果仍是等式。例 3 检验 x=-1 是不是一下方程的解？（1）2x+2x+1=0 （2）2x-2x=-1 解：把 x=-1 代入方程，左边=2( 1)+2×（-1）+1=1-2+1=0，右边=0， 左边=右边， x=-1 是方程2x+2x+1=0 的解。（2）把 x=-1 代入方程，左边=2( 1)-2×（-1）=1+2=3，右边=-1， 左边右边， x=-1 不是方程2x-2x=-1 的解。例 4 张先生买了一只旅行水瓶，用去了身边所带钱数的一半加 1 元；接下来买了一 大包食品，用去了剩余钱数的一半加 2 元，然后再买了一大瓶饮料，用去了剩余钱数的一 半加 3 元，最后只剩 1 元钱，请问张先生买的几样东西的价钱各是多少呢？分析：张先生买东西的过程中，都是和钱数有关系的，所以可以设张先生身边所带的钱数为 x，则他三次花的钱数（1 2x+1）元，剩余钱数是（1 2x-1） ；第二次花的钱数是（31x42）元，剩余钱数是（51x-42） ；第三次花的钱数是（71x84） ，剩余的钱数是 1 元。等量关系为“用全部的钱数减去三次所花钱数就等于 1 元” 。解：设张先生身边所带钱数为 x 元，则根据题意得x-（1 2x+1）-（31x42）-（71x84）=1x-1 2x-1-31x-42-71x-84=1121x84，x=42。 1x1222 （元） ，31x1242（元） ，71x+784（元） 。答：张先生买的旅行水瓶的价格是 22 元，食品的价格是 12 元，饮料的价格是 7 元。点评：在实际问题中，找一个中间量，就可以把其他的量联系起来，从而列出方程。 如果这个中间量不利用，是很难解决的，方程是解决问题的工具。三、总结提炼要充分理解方程等相关概念，解一元一次方程时要注意：1.分母是小数时，根据分数 的基本性质，分子、分母都扩大相同的倍数，把分母转化成整数，此时和不含有分母的项 无关，不要和去分母相混淆；2.去括号时，不要漏乘括号内的项，要依据法则，不要弄错 符号；3. 移项时，切记要变号，不要丢项。四、布置作业1、2、3板书设计：课题一、知识回顾 例 1 例 2主要概念例 3主要性质 例 4w 二、例题讲解 总结：第二课时第二课时教学过程：一、复习导入师：我们回忆列方程解应用题的一般步骤，应该注意哪些问题？请学生回答，其他同学补充。师：本节课我们就利用这些步骤进一步解决一些实际问题。二、讲授新课（出示投影）例 1 某旅游团从宾馆出发去风景点 A 参观游览，在 A 景点停留 1 小时后，又绕道去风 景点 B，再停留半小时后返回宾馆。去时的速度是 5 千米/时，回来的速度是路程比去时多 2 千米，求去时的路程。分析：这个题目看起来比较麻烦，但是仔细观察就会发现题目里要求得也只是一个未 知数，即去时的路程，而题目的等量关系是：去的时间+回来的时候+停留的时间=共用的时 间。在这里“去的时间”是未知的，如果直接设去时的路程为x 千米，那么回来时的路程就是（x+2）千米，去时路上所需时间是x 5小时，回来时路上所需时间是x2 4。根据题意，得x 5+x2 4+1+1 2=6.5解方程，得 x=10。例 2 有两个矩形，第一个矩形的长、宽和第二个矩形的长、宽之比顺次为 5：4：3：2，第一个矩形的周长比第二个周长大 72 厘米，求这两个矩形的面积。分析：很明显，如果采用直接设立未知数的方法，把这两个矩形的面积选作未知数， 那么方程是不容易列出来的。注意到矩形的面积等于它的长乘以宽，而长与宽的关系可以 从题目中给出的条件找到，那么可以采用间接设立未知数的方法，先求出它的长与宽，然 后再求它们的面积。解法 1：设第一个矩形的长为 5x 厘米，它的宽为 4x 厘米，第二个矩形的长为 3x 厘米， 宽为 2x 厘米。根据题意，得2(5x+4x)2(3x+2x)=72解法 2：设第一个矩形的长为 x 厘米，它的宽为4x 5厘米，第二矩形的长为3x5厘米，宽为2x 5厘米，根据题意，得2(x+4x 5)-2(3x5+2x 5)=72.解法 3：设第一个矩形的长为 x 厘米，它的宽为 y 厘米，第二个矩形的长为 x 厘米， 宽为 w 厘米。根据题意，得x：y：z：w=5：4：3：2，2(x+y)-2(z+w)=72例 3 某校举行数学竞赛选拔赛，淘汰总参赛人数的1 4，已知选拔最低分数线比总人数的平均分少 2 分，比被选中学生平均分数少 11 分，并且等于淘汰人数的平均分数的 2 倍， 求选拔最低分数线为多少？分析：从题目中分析，此题的等量关系是：所有学生的总分数=被选拔学生的分数+被 淘汰学生的分数，而要求各类分数，必须知道各类学生数。因此在设选拔最低分数为 x 分 的同时，设被淘汰的人数为 m 人，那么总人数为 4m 人，选中的学生数为 3m 人。这里的 m 是一个辅助未知数，不必求出它的结果，一般在解题过程当中可消掉。根据题意，得4m(x+2)=3m(x+11)+m(x 2)解方程，得x=50。答：选拔最低分数为 50 分。例 4 某商店有甲、乙两种钢笔共 143 只，甲种钢笔每只 6 元，乙种钢笔每只 3.78 元， 某学校购了该商店的全部乙种钢笔和部分甲种钢笔，经过核算后，发现应付款的总数与甲 种钢笔的总数无关，问购买的甲种钢笔是该商店甲种钢笔总数的百分之几？分析：在“买甲种钢笔付款+买乙种钢笔付款=总付款数”的等量关系中，涉及到甲种 钢笔总数和付款总数，因此可以选择它们作为辅助未知数。设购买甲种钢笔占甲种钢笔的百分之比为 x，甲种钢笔总数为 m 只，付款总数为 T 元， 根据题意，得T=6xm+3.78(143-m)=(6x-3.78)m+3.78×143因为 T 与 m 无关，所以 6x-3.78=0。即 x=0.63=63%。答：购买的甲种钢笔是该店甲种钢笔总数的 63%。三、总结提炼一元一次方程是最简单的方程。结合例子体验：运用方程解决问题，关键是分析问题 中的数量关系，找出其中的相等关系，并由此列出方程。结合生活、学习和生产中的实例， 体会运用方程解决实际问题的一般过程。四、布置作业复习题 2 4、5、6板书设计：课题一、复习 例 3二、讲解例题 例 4 例 1例 2 总结：