初二讲义 角平分线的判定与性质
1第第 7 7 讲讲 角平分线的判定与性质角平分线的判定与性质【知识点与方法梳理知识点与方法梳理】角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线的作法（尺规作图）角平分线的作法（尺规作图）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D 两点； 分别以 C、D 为圆心，大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P； 过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求角平分线的性质及判定角平分线的性质及判定1.1.角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 推导推导 已知：OC 平分MON，P 是 OC 上任意一点，PAOM，PBON，垂足分别为点 A、点 B 求证：PAPB证明：证明：PAOM，PBON PAOPBO90° OC 平分MON 12 在PAO 和PBO 中， PAOPBO PAPB2几何表达：几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）OP 平分MON（12），PAOM，PBON， PAPB2 2 角平分线的判定角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 推导：推导： 已知：点 P 是MON 内一点，PAOM 于 A，PBON 于 B，且 PAPB 求证：点 P 在MON 的平分线上证明：证明：连结 OP在 RtPAO 和 RtPBO 中，RtPAORtPBO（HL） 12 OP 平分MON 即点 P 在MON 的平分线上几何表达：几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）PAOM，PBON，PAPB 12（OP 平分MON）3NMGOEDBAC【经典例题经典例题】例 1已知：如图，ABC 中， C=90°，AD 是ABC 的角平分线，DEAB 于 E，F 在 AC 上 BD=DF， 求证：CF=EB例例 2.2.已知：如图，AD、BE 是ABC 的两条角平分线，AD、BE 相交于 O 点求证：O 在C 的平分线上例例 3.如图 ABCD，B90°，E 是 BC 的中点。DE 平分ADC，求证：AE 平分DAB。例例 4.4.已知：如图，在 ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，E、F 分别是 AB、AC 上一点，并且有 EDFEAF180°试判断 DE 和 DF 的大小关系并说明理由ACDEBFDEBAC4【经典练习经典练习】1 如图，CDAB，BEAC，垂足分别为 D，E，BE，CD 相交于点 O，OBOC，求证BAOCAO2.如图，OC 是AOB 的角平分线，P 是 OC 上一点，PDOA 交于点 D，PEOB 交于点 E，F 是 OC 上除点 P、O 外一点，连结 DF、EF，则 DF 与 EF 的关系如何？证明你的结论。3.如图，在 CD 上求作一点 P，使它到 OA，OB 的距离相等（写出作法）。4.要将如图中的MON 平分，小梅设计了如下方案：在射线 OM，ON 上分别取 OAOB，过 A 作DAOM 于 A，交 ON 于 D，过 B 作 EBON 于 B 交 OM 于 E，AD，EB 交于点 C，过 O，C 作射线 OC 即为 MON 的平分线，试说明这样做的理由.FED CBAOPODCBA5FEDABC5.如图ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD，DE、DF 分别垂直 AB、AC，垂足为 E、F ， 求 证：EB=FC6. 如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，ABC 面积是28，AB8cm，AC6cm，求 DE 的长2cm7、已知：如图，BC90°，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC （1）求证：AM 平分DAB； （2）猜想 AM 与 DM 的位置关系如何？并证明你的结论【巩固练习巩固练习】基础训练题基础训练题1.如图，在 RtABC 中，C=90°，BD 是ABC 的平分线，交 AC 于点 D，若 CD=n，AB=m，则ABD 的面积是（ ）A.m+n B. mn C. D. 21mn2mnAEBDCF6F EDPABCDAEFBC2.如图，已知 AC 平分PAQ，点 B，B分别在边 AP，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB，那么该条件不可以是（ ）A、BBAC B、BC=BC C、ACB=ACB D、ABC=ABC3、如图，FDAO 于 D，FEBO 于 E，下列条件：OF 是AOB 的平分线；DF=EF；DO=EO；OFD=OFE。其中能够证明DOFEOF 的条件的个数有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4.如图，在 ABC 中，,分别是 AB、AC 上的点，FE、EF=5 cm，BP、CP 分别是ABC 和ACB 的角平分线，且 PDBC于 D，PEAB 于 E, PFAC 于 F,已知 PD=4cm则 PEF 的周长是_ cm.5.如图（7）：ACBC，BM 平分ABC 且交 AC 于点 M，N 是 AB 的中点且 BN=BC。求证：（1）MN 平分AMB，（2）A=CBM。6.如图：在ABC 中，B，C 相邻的外角的平分线交于点 D。 求证：点 D 在A 的平分线上。NM图 图 7图CBA721DBPACCOABPD7.如图 8、ABCD，PCD 的面积等于PAB 的面积，求证：OP 平分BOD。8.如图 9、在ABC 中，B60°，ABC 的角平分线 AD、CE 交于点 O，求证： AE+CDAC。能力提高题能力提高题1.已知：如图，C2B，12，求证：ABAC+CD。2.已知，如图 2，12，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，AB+BC2BD， 求证：BAP+BCP180°。321DAB CDEOBCA83、如图，已知CAD=CDA，AC=BD，E 在 BC 上，DE=EC，求证：AD 平分BAEAB D E C(提示提示:延长 AE 到 P,使得 EP=AE,连接 CP,证三角形 ABD 与 PAC 全等)4.如图，已知 ABCD，O 是ACD，CAB 的平分线的交点，且 OEAC 于 E 点，OE=12， 求 AB 与 CD 之间的距离A BEOC D5.如图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD求证：AD平分BAC.9ABCDE课后作业课后作业1.如图，在 RtABC中，C90°，BD是ABC的平分线，交AC于D，若CDn，ABm，则 ABD的面积是（ ）Amn31Bmn21Cmn D2mn2.如图，OP 平分AOB，PCOA 于 C，PDOB 于 D，则 PC 与 PD 的关系是（ ） A. PCPD B. PCPD C. PCPD D. 不能确定3. 如图，点 P 是BAC 的平分线 AD 上一点，PEAC 于点 E，已知 PE3，则点 P 到 AB 的距离是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 64.如图，MPNP，MQ 平分NMP，MTMP，连结 TQ，则下列不正确的是（ ） ATQPQ B.MQTMQP C.QTN90°D.NQTMQT第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题5.如图，在ABC 中，AD 平分BAC，DEAB 于 E，DFAC 于 F，M 为 AD 上任意一点，则下列结 论错误的是( ) A.DEDF B.MEMF C.AEAF D.BDDC6.已知：如图 3，在 RtABC中，C90°，沿着过点B的一条直线BE折叠 ABC使C点恰好 落在AB边的中点D处，则A的度数等于_7.如图所示 ADDC，BCDC，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB，BE 平分ABC， 求证：AB=AD+AC。TQPNMMFEDCBA108已知：如图，CDAB于D，BEAC于E，CD、BE交于O，12 求证：OBOC.9.已知：如图 95，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB，点C在OD上，CMAD于 M，CNBD于N.求证：CMCN10.如图，在ABC 中，AD 平分BAC，EF 是线段 AD 的垂直平分线， 求证：CAFABD11.已知：如图，A、B、C、D四点在MON的边上，ABCD，P为MON内一点，并且 PAB的面积与PCD的面积相等求证：射线OP是MON的平分线ABCDEF5
