数理统计(1)

第七章 参数估计,点估计 基于截尾样本的最大似然估计 估计量的评选标准 区间估计 正态总体参数的区间估计 (0-1)分布参数的区间估计 单侧置信区间,7.1 点估计 7.1.1 参数估计的概念,定义 设X1， ， Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x; ), 。其中为未知参数, 为参数空间, 若统计量g(X1， ， Xn)可作为的一个估计,则称其为的一个估计量，记为,注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.,若x1， ， xn是样本的一个观测值。,由于g(x1， ， xn) 是实数域上的一个点，现用它来估计， 故称这种估计为点估计。点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估计法。,7.1.2 矩估计法（简称“矩法”）,关键点： 1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即,2.约定：若 是未知参数的矩估计，则g()的矩估计为g( ),例1：设X1， ， Xn为取自总体B(m,p),的样本，其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估计。,例2：设X1， ， Xn为取自参数为的指数分布总体的样本，求的矩估计。,7.1.3 极大似然估计法,1、极大似然思想有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击了一发，结果命中了，估计是谁射击的？,一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|) 达到最大的那一个。这就是极大似然思想,1.设总体X为离散型随机变量，它的分布律为,现有样本观察值x1,x2,xn,其中xk取值于ak, k=1,2 问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,xn估计q?,例6.设X1， ， Xn为取自参数为的泊松分布总体的样本，求的极大似然估计,2.设总体X为连续型随机变量，概率密度f(x;q) 现有样本观察值x1,x2,xn, 问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,xn估计q?,3、似然函数与极大似然估计,为该总体的似然函数。,定义：若有,使得,则称 为的极大似然估计.记为,4、求极大似然估计的步骤,(1) 做似然函数,(2) 做对数似然函数,(3) 列似然方程,若该方程有解，则其解就是,注1：若概率函数中含有多个未知参数，则可解方程组,例7：设X1， ， Xn为取自 总体的样本，求参数 的极大似然估计。,注2：极大似然估计具有下述性质： 若 是未知参数的极大似然估计，g()是的严格单调函数，则g()的矩极大似然估计为g( ),例8：设X1， ， Xn为取自参数为的指数分布总体的样本，a>0为一给定实数。 求p=PX<a的极大似然估计,注3：由似然方程解不出的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。事实上 满足,例9：设X1， ， Xn为取自 U(0,) 总体的样本，>0未知，求参数 的极大似然估计。,7.2 基于截尾样本的最大似然估计,一、基本概念,二、基于截尾样本的最大似然估计,三、小结,一、基本概念,1. 寿命分布的定义,产品寿命T 是一个随机变量,它的分布称为寿命分布.,2. 完全样本的定义,(一种典型的寿命试验),如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.,3. 两种常见的截尾寿命试验,(1) 定时截尾寿命试验,(2) 定数截尾寿命试验,二、基于截尾样本的最大似然估计,1. 定数截尾样本的最大似然估计,设产品的寿命分布是指数分布,其概率密度是,设有n个产品投入定数截尾试验, 截尾数为m,得定数截尾样本,为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.,上述观察结果出现的概率近似地为,取似然函数为,对数似然函数为,2. 定时截尾样本的最大似然估计,设定时截尾样本,与上面讨论类似,得似然函数为,例,设电池的寿命服从指数分布,其概率密度为,随机地取50只电池投入寿命试验, 规定试验进行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.,解,7.3 估计量的评选标准 7.3.1 一致性,例1.设 已知0<p<1,求p的极大似然估计，并讨论所求估计量的一致性。,7.3.2、无偏性,易见,考察的矩估计和极大似然估计的无偏性,7.3.3 有效性,例3:设 分别为取自总体X的容量为n1,n2的两个样本的样本均值，求证：对任意实数a>0,b>0,a+b=1 统计量 都是E（X）的无偏估计，并求a,b使所得统计量最有效,1. 置信区间的定义,7.4 区间估计,关于定义的说明,若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n),按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,例如,2. 求置信区间的一般步骤(共3步),单击图形播放/暂停 ESC键退出,单击图形播放/暂停 ESC键退出,解,由上节例4可知,例1,其概率密度为,解,例2,这样的置信区间常写成,其置信区间的长度为,由一个样本值算得样本均值的观察值,则置信区间为,其置信区间的长度为,比较两个置信区间的长度,置信区间短表示估计的精度高.,说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况, 易证取a和b关于原点对称时,能使置信区间长度最小.,今抽9件测量其长度, 得数据如下(单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160.,解,例3,7.5 正态总体参数的区间估计,1、2已知,/2,/2,1-,可取,(1-),1-,的置信度为1的置信区间为,注：的1置性区间不唯一。,都是的1置性区间.但=1/2时区间长最短.,求正态总体参数置信区间的解题步骤：(1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参数且分布已知；(2)令该函数落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度1，要求区间按几何对称或概率对称；(3)解不等式得随机的置信区间；(4)由观测值及值查表计算得所求置信区间。,(1)解:,已知时,的置信度为1的置信区间为,这里,2、2未知,m的1-a置信区间为,1-,即得,(2)解:,未知时,的置信度为1的置信区间为,这里,7.5.2 单正态总体方差的置信区间,假定m未知，,s2的置信度为1的置信区间为,7.5.3 双正态总体均值差的置信区间,其中,可解得1- 2 的置信区间,7.5.4 双正态总体方差比的置信区间,假定1，2未知,7.6 (0-1)分布参数的区间估计,一、置信区间公式,二、典型例题,一、置信区间公式,推导过程如下:,因为(01)分布的均值和方差分别为,因为容量n较大,由中心极限定理知,二、典型例题,设从一大批产品的100个样品中, 得一级品60个, 求这批产品的一级品率 p 的置信水平为0.95的置信区间.,解,一级品率 p 是(0-1)分布的参数,例1,p 的置信水平为0.95的置信区间为,设从一大批产品的120个样品中, 得次品9个, 求这批产品的次品率 p 的置信水平为0.90的置信区间.,解,例2,p 的置信水平为0.90的置信区间为,7.7 单侧置信区间,二、基本概念,三、典型例题,一、问题的引入,四、小结,一、问题的引入,但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的“上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.,二、基本概念,1. 单侧置信区间的定义,2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间,三、典型例题,设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.,解,例1,解,例2,