高中数学：函数的极值与最值

,第五节 函数的极值与最值,一、函数的极值,1.定义,如果存在,的一个去心邻域,对于该去心邻域,内的任一点,都有,成立,则称,是函数,的极大值,称,为函数,的极大值点.,(极小值),(极小值点),的极小值点:,的极大值点:,2.极值点的必要条件,定理1,若,在,处取得极值,且,在,处可导,则,证,不妨设,是极大值.,按定义,存在去心邻域,使得,对于任意,都有,即：,对于任意,都有,又,由费马引理得:,定义,若,则称,是函数,的驻点.,注:,由定理1得:,若,是函数,的极值点,则,或,不存在.,反之不然.,反例:,但,不是,的极值点.,但,不是,的极值点.,3.极值的判别法,定理2(第一判别法),设,在,的一个去心邻域,内可导,且在,处连续.,(1),若当,由小到大经过,时,的符号由正变负,则,是极大值.,(2),若当,由小到大经过,时,的符号由负变正,则,是极小值.,(3),若当,由小到大经过,时,的符号不改变,则,不是极值.,(,),+,-,是极大值,(,),-,+,是极小值,(,),+,+,不是极值,(,),-,-,不是极值,例1,求,的极值.,解,(1)定义域:,(2),令,解得,时,不存在,(3)讨论单调性,-,不 存 在,+,0,-,不 存 在,-,极小值,极大值,非极 值,(4),极小值:,极大值:,说明,如果由,的表达式不易确定它在驻点,附近的符号,那么,用极值的第一判别法就不好求,极值了.,但是,这时若函数,在驻点处的,二阶导数存在且不为零,则可用下面的定理来求极值.,定理3(第二判别法),设,在,处二阶可导,且,则,(1)当,时,是极大值,(2)当,时,是极小值,证 (1),按定义,由函数极限的局部保号性得:,就有,.,于是,从而,从而,(第一判别法),(2) 类似可证.,例2,求函数,的极值.,解,是周期函数，,只需考虑,在区间,上的情况.,令,解得,极大值,极小值,二、 函数的最大值和最小值,在实际中，经常遇到这样的问题：,怎样使产品的用料最省？成本最低？生产时间最短？,怎样使生产的效益最高？利润最大？,这类问题称为“最优化问题”,在数学上，,这类问题可归结为：,求某个函数的最大值或最小值的问题,（简称最值问题）,这里，我们只研究一些较简单的最值问题。,1.,设函数,是闭区间,上的连续函数,且在,内只有有限个导数为0或不存在的点.,求,在闭区间,上的最值.,求法:,(1),记为:,(2),(3),例3,求函数,在,上的最大值和最小值。,解,记,令,解得,计算,2.,设函数,在区间,内可导,且只有一个驻点,又,是,的极值点，,则,当,是极大值时，,就是区间,上的最大值。,当,是极小值时，,就是区间,上的最小值。,（,）,（,）,3. 在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定,可导函数,确有最大值(或最小值),而且一定在,定义区间内部取到.,这时,如果,在定义区间,内部只有一个驻点,那么,可以断定,就是,最大值(或最小值).,(不必讨论,是否为极值),例4,设有一块边长为,的正方形铁皮,从其各角,截去同样的小正方形,作成一个无盖的方盒,问:,截去多少才能使得作成的盒子容积最大?,解,设截去的小正方形的边长,为,则作成盒子的容积,(,),令,解得,在,内可导,且只有一个驻点,又由实际问题知:,在,内必有最大值,就是最大值点,最大值,小 结：,极值的定义,极值的判定法：,第二判定法,第一判定法,最大值，最小值的求法,极值点的必要条件,作 业,